Anneau commutatif

G on a : x ∗ y = y ∗ x, on dit que la loi ∗ est commutative et que le groupe (G, ∗) est commutatif. Convention : pour calculer dans un groupe, on omettra souvent le signe ∗ et on ´ecrira gh au lieu de g ∗ h. Exemples : 1) L’ensemble des transformations du rectangle (respectivement du carr´e) avec la loi de composition naturelle forme un groupe de cardinal 4 (respectivement 8). Le premier groupe est commutatif, le second ne l’est pas. 2) Les ensembles Z,Q,R et C, munis de l’addition sont des groupes

plus générale, nous avons le théorème suivant, aux conditions assez restrictives : Théorème 1.3.1. Le produit de plusieurs distributions, lorsque toutes, sauf une au plus, sont des fonctions indéfiniment dérivables au sens usuel, est associatif et commutatif. δ(t), α(t)ϕ(t) = α(0)ϕ(0) α(0)δ(t), ϕ(t) . (1.44) (α1 + α2 )T (α1 α2 )T = α1 T + α2 T, = α1 (α2 T ), (1.48) (1.49) (1.50) α(T1 + T2 ) = αT1 + αT2 Si les conditions ne sont pas vérifiées, la multiplication n’est plus nécessairement

(tan(x))th(x) − ((th(x))tan(x) 8 www.mathematiques.ht.st 7 Groupes, anneaux, corps. Exercice 7.1 Montrer que R munit des lois x ⊕ y = x + y − 1 et x ⊗ y = x + y − xy est un anneau. Est-il commutatif ? (R, ⊕, ⊗) est-il un corps ? Exercice 7.2 Les ensembles suivants sont-ils des groupes ? Si oui, sont-ils commutatifs ? 1. { R→R } x → ax + b 2. R2 muni de la loi (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) = (x1 y1 + 2x2 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) 3. ] − 1, 1[ muni de la loi x ⊕ y = x+y 1 + xy Exercice 7.3 √ √ Soit

tours de Hanoï, des anneaux, de tailles décroissantes, sont enfilés sur un axe (voir la figure 22.1). On dispose de deux autres axes libres. La règle du jeu impose que l’on ne puisse sortir qu’un seul anneau à la fois du haut d’une tour pour l’enfiler sur un autre axe, à condition qu’il repose sur un anneau plus grand. Elle interdit d’autre part de poser l’anneau ailleurs que sur un axe. Est-il possible de déplacer tous les anneaux d’un axe sur un autre et si oui, quel est le nombre minimum d’opérations

Montrer que A est un sous-espace vectoriel de L(E). Si E est de dimension finie, quelle est la dimension de A ? 19 Espaces vectoriels de dimension finie 82 Exercice 704 Soient E0 , E1 , ..., En n + 1 espaces vectoriels sur un mˆme corps commutatif e K, de dimensions respectives α0 , α1 , ..., αn . On suppose qu’il existe n applications lin´aires e f0 , f1 , ..., fn−1 telles que : ∀k ∈ {0, ..., n − 1}, fk ∈ L(Ek , Ek+1 ). et de plus : – f0 est injective ; – ∀j ∈ {1, ..., n − 1}, Im

[correction] Montrer que Sn (R) et An (R) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn (R). 1 i,j n a+b −b b a−b avec (a, b) ∈ K 2 a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M2 (K), en donner une base. b) Montrer que E est un sous-anneau commutatif de M2 (K). c) Déterminer les inversibles de E. d) Déterminer les diviseurs de zéro de E c’est-à-dire les matrices A et B ∈ E vérifiant AB = O2 avec A, B = O2 . Exercice 39 [ 01563 ] [correction] On dit qu’une matrice A = (ai,j ) ∈ Mn (K) est

inversible. Donc, l’appliee cation fa : x → a×x d´finie de G dans G est une bijection. Donc Im(fa ) = G ; e d’o` y∈Im(fa ) y = x∈G x. Or y∈Im(fa ) y = x∈G a × x = an x∈G x (comu u P mutativit´ de ×). Ainsi an x∈G x = x∈G x, d’o` an = e. e Anneaux Un anneau (A, +, ×) est un ensemble muni de deux op´rateurs binaires internes e v´rifiant les propri´t´s suivantes : e ee 1. (A, +) est un groupe ab´lien. e 2. × est associative : pour tous a, b, c ∈ A, a × (b × c) = (a × b) × c. 3. × est distributive sur +

Montrer que ∀xi nE, f (x), x = 0. En d´duire que idE − f et idE + f ∈ GL(E) e b. Montrer que (idE − f )−1 et idE + f commutent. 36 c. Montrer que (idE − f )−1 ◦ idE + f ∈ SO(E) CCP 63 a b , (a,b) ∈ R2 } −b a a. Montrer que E est sev et sous-anneau de M2 (R) et calculer dim(E) b. Soit C −→ E a b ϕ: a + ib −→ −b a E={ Montrer que ϕ est un isomorphisme d’ev et d’anneaux. CCP 64 12 points Soit (A,B) ∈ Mn (C)2 sans valeur propre commune. a. Montrer que χA (B) est inversible b. Montrer que ∀X

e e e de probl`mes issus, non seulement des autres secteurs de l’alg`bre, mais aussi de l’analyse et de la g´om´trie. e e e e Il comporte en outre quelques compl´ments d’alg`bre et d’arithm´tique : groupes cycliques, id´aux de l’anneau e e e e Z, anneau Z/nZ, id´aux de l’anneau K[X]. e La maˆ ıtrise de l’alg`bre lin´aire en dimension finie et, notamment, de l’articulation entre le point de vue e e g´om´trique (vecteurs et points) et le point de vue matriciel, constitue un objectif essentiel. Le programme

d’´l´ments alg´briques d’une K-alg`bre, o` K est un sous-corps de C. Il convient ee e e u aussi de noter que la plupart des concepts et des r´sultats figurant au programme s’´tendent sans changement e e au cas des espaces vectoriels sur un corps commutatif K quelconque et les appliquer ` l’´tude de questions a e faisant intervenir l’alg`bre lin´aire sur le corps Z/pZ. e e – Concernant les espaces vectoriels hermitiens, il s’agit d’´tendre les notions et les r´sultats d´j` ´tudi´s dans e e eae e le