Anneau commutatif

On appelle groupe un ensemble G muni d’une lci v´rifiant : e 1. la loi est associative ; 2. G poss`de un ´l´ment neutre ; e ee 3. Tout ´l´ment x de G admet un sym´trique. ee e Si de plus la loi est commutative, on dit que le groupe est ab´lien (ou commutatif ). e Remarque 21. Lors d’une ´tude abstraite d’un groupe, on note x−1 le sym´trique d’un ´l´ment x (notation e e ee multiplicative). Mais si la lci est not´e +, par analogie avec les groupes de nombres, le sym´trique de l’´l´ment e e ee x sera not´

groupe un ensemble G muni d’une lci v´rifiant : e 1. la loi est associative ; 2. G poss`de un ´l´ment neutre ; e ee 3. Tout ´l´ment x de G admet un sym´trique. ee e Si de plus la loi est commutative, on dit que le groupe est ab´lien (ou commutatif ). e Remarque 21. Lors d’une ´tude abstraite d’un groupe, on note x−1 le sym´trique d’un ´l´ment x (notation e e ee multiplicative). Mais si la lci est not´e +, par analogie avec les groupes de nombres, le sym´trique de l’´l´ment e e ee

groupe un ensemble G muni d’une lci v´rifiant : e 1. la loi est associative ; 2. G poss`de un ´l´ment neutre ; e ee 3. Tout ´l´ment x de G admet un sym´trique. ee e Si de plus la loi est commutative, on dit que le groupe est ab´lien (ou commutatif ). e Remarque 21. Lors d’une ´tude abstraite d’un groupe, on note x−1 le sym´trique d’un ´l´ment x (notation e e ee multiplicative). Mais si la lci est not´e +, par analogie avec les groupes de nombres, le sym´trique de l’´l´ment e e ee

applications de E vers F . . . . . 3. Structure de Groupe 3.1. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Morphisme de groupe . . . . . . . . . . 4. Structure d’Anneau 4.1. Anneau . . . . . . . . 4.2. Sous-anneau . . . . . 4.3. Exemples d’anneaux 4.4. Arithmétique de Z . 11. Espaces Vectoriels 11.1. Structure d’espace vectoriel . . . . 11.2. Sous-espace vectoriel . . . . . . . . 7 11.3. Somme de sous-espaces vectoriels 11.4. Norme sur un

vectoriel euclidien Automorphismes orthogonaux de l’espace Déplacements Similitudes directes du plan PARTIE 4 – Algèbre et géométrie 2 Chapitre 1 – Algèbre générale 1 Groupes 1.1 Groupes 1.2 Groupes Anneaux et corps 2.1 Idéaux d’une anneau commutatif 2.2 Idéaux de , anneau 2.3     2 Idéaux de Chapitre 2 – Algèbre linéaire et géométrie affine 1 2 3 4 5   Bases, sommes directes Image et noyau d’une application linéaire Dualité en dimension finie Trace d’un endomorphisme Calcul matriciel

i, j n . [005607] Exercice 11 ** 1 0 Soient I = 0 1 et J = 1 1 0 1 . Soit E = {M(x, y) = xI + yJ, (x, y) ∈ R2 }. 1. Montrer que (E, +, .) est un R-espace vectoriel et préciser sa dimension. 2. Montrer que (E, +, ×) est un anneau commutatif. 3. Quels sont les éléments inversibles de l’anneau (E, +, ×) ? 4. Résoudre dans E les équations : (a) X 2 = I (b) X 2 = 0 (c) X 2 = X. 5. Calculer (M(x, y))n pour n entier naturel et x et y réels. Correction [005608] Exercice 12 *** On

la formule est vraie pour n = 0 , donc β0 = 1 et ∀n ∈ N ∗ , βn = 2αn−1 = 3 n 2n + 2 (−1) ∀n ∈ N , βn = 3 e) Si a = 3 et b = c = 1 , alors α2 = 4 et β2 = −4 , on obtient de mˆme : e ∀n ∈ N αn = n2n−1 βn = − (n − 1) 2n 3) a) F est un sous anneau commutatif de M, car F 2 ∈ F et I et F commutent b) F est un corps si et seulement si toute matrice non nulle de F admet un inverse dans F et on sait que si cette matrice existe , elle est unique Soit M = λF + µI , une matrice donn´e de F, M = xF + yI e

monoïde. × est associatif. × est commutatif. × possède un élément neutre, 1, successeur de 0. Seul 1 possède un symétrique pour ×, lui–même. × est distributif par rapport à l'addition. On pourra consulter l'annexe II pour plus de détails. -3- ¤¤  ¥¥ ¨¨  ¦¦  ©© §§ est construit de façon que tout les éléments de possède un symétrique pour +. ( , +, ×) est alors un anneau. Cet anneau est commutatif (car le produit est commutatif), unitaire (car le produit est construit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Arit´ variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4.6 Expressions arithm´tiques . . . . . . . . . . . . . . e 4.4.7 Monˆmes noncommutatifs . . . . . . . . . . . . . . o 4.4.8 Monˆmes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . o 5 Les 5.1 5.2 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

complexe et module de C∗ vers C∗ . B) Anneaux et corps 1 - Anneaux : distributivité, définition, sous-anneaux. 2 - Éléments inversibles d’un anneau. Le groupe multiplicatif A∗ . Corps, sous-corps. Exemples : Z, R, C, F(X, K) 3 - L(E) avec GL(E), en dimension finie caractérisation des éléments inversibles. 4 - Règles de calcul dans un anneau ou un corps commutatif, ou encore si xy = y x : formule du binôme, formule x n −y n = (x −y )(x n−1 +· · ·+y n−1 ), somme d’une progression géométrique. 15. Les extensions