Anneau commutatif

ensemble non vide G, muni d'une loi de composition interne ∗, est un groupe si – la loi est associative ; – il existe un élément neutre e ; – tout élément de G possède un symétrique dans G. Si, de plus, la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif, ou abélien. Dans un groupe, tout élément est régulier (ou simplifiable), c'est-à-dire que l'on a toujours : x∗y =x∗z ⇒ y =z ; y ∗x = z ∗x ⇒ y = z. Généralement, un groupe est noté additivement ou multiplicativement. Le symétrique x de x est

ensemble non vide muni d’une loi interne T . e e ee On dit que (G, T ) est un groupe si T est associative, poss`de un ´l´ment neutre et si tout ´l´ment de G est inversible. Si de plus la loi T est commutative alors (G, T ) est appel´ ee e groupe commutatif ou encore groupe ab´lien. e D´finition 0.0.5 Soit (G, T ) un groupe et H un sous-ensemble non vide de G. Si (H, T ) est e lui-mˆme un groupe, on dit que (H, T ) est un sous-groupe de (G, T ). e Remarque : Montrer que (H, T ) est un sous-groupe de

Espaces vectoriels et combinaisons linéaires 1 1.1 Espaces vectoriels Définition (Espace vectoriel) On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K tout triplet (E, +, ·) vérifiant les propriétés suivantes : – (E, +) est un groupe commutatif dont l’élément neutre est noté 0E ou 0 et appelé le vecteur nul de E, – · est une application de K × E dans E : à partir d’un réel λ et d’un élément x de E, · fournit un nouvel élément de E noté λ · x ou plus simplement λx. Par définition, cette

associative. iv) * admet un élément neutre e. v) tout x de G admet un symétrique x'. Si, en outre, * est commutative, le groupe est dit commutatif ou abélien (Niels Abel, mathématicien norvégien, 1802-1829). On note parfois la loi du groupe multiplicativement (ab au lieu de a * b) ou additivement (a + b au lieu de a * b), mais la notation additive est réservée aux groupes commutatifs. a * a * ... * a est alors noté an dans le cas multiplicatif ou na dans le cas additif. - 21 - Les axiomes des groupes permettent

tout élément de G admet un symétrique pour la loi ·. Si la loi · est commutative, on dit que le groupe G est abélien ou commutatif. 1. Algèbre 3 Sous-groupe Soit ( G, ·) un groupe. Une partie H de G est un sous groupe de G si et seulement si : – H est stable par la loi · ; – H contient l’élément neutre ; – ∀ x ∈ H, x−1 ∈ H. Groupe commutatif – (Z/nZ , +) est un groupe commutatif. – l’application pn : Z → (Z/nZ ) , appelée surjection canonique, est x → x mod n un morphisme surjectif de groupes. Générateurs

0  1 A=  1 1 1 0 1 1 1 1 0 1  1 1   1  0 est inversible et calculer son inverse. 3 a) Montrer que (E, +, .) est un R-espace vectoriel dont on précisera la dimension. b) Montrer que (E, +, ×) est un anneau commutatif. c) A quelle condition sur (a, b, c) ∈ R3 , la matrice A = M (a, b, c) est-elle inversible dans M3 (R) ? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application f : E → E définie par f (X) = AX, montrer que A−1 ∈ E. Exercice 26 [

télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. MATRICES PLAN I : Matrice associée à une application linéaire 1) Définition 2) Somme de matrices 3) Produit par un scalaire 4) Produit de matrices 5) Rang d'une matrice II : Anneau des matrices carrées 1) Définition 2) Matrice identité 3) Matrices particulières Matrices scalaires Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices nilpotentes Matrices inversibles III : Transposition 1) Définition 2) Propriétés 3) Matrices symétriques

ensemble non vide G, muni d'une loi de composition interne ∗, est un groupe si – la loi est associative ; – il existe un élément neutre e ; – tout élément de G possède un symétrique dans G. Si, de plus, la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif, ou abélien. Dans un groupe, tout élément est régulier (ou simplifiable), c'est-à-dire que l'on a toujours : x∗y =x∗z ⇒ y =z ; y ∗x = z ∗x ⇒ y = z. Généralement, un groupe est noté additivement ou multiplicativement. Le symétrique x de x est

Complexes et paires de Poincaré Remarque : par convention, tous les espaces topologiques considérés dans la suite du texte ont le type d’homotopie de CW-complexes. Soit (X, A) une paire d’espaces (avec A éventuellement vide). Soit n 0 un entier et Λ un anneau égal à Z ou Q. Supposons que X et toutes les composantes connexes de A sont simplement connexes. Supposons également que H∗ (X; Λ) et H∗ (A; Λ) sont de type fini. 4 CHAPITRE 1. PLONGEMENT À HOMOTOPIE PRÈS Définition 1.5 L’espace X est appelé

très pratique car la matrice associée au système n’est autre que la matrice de ses coefficients rangés naturellement, les places vides étant bien sûr complétées par des zéros. ° ° ° Attention ! • En général, le produit de deux matrices n’est pas commutatif — c’est même pire que cela, car si le produit est défini dans un sens, il ne l’est généralement pas dans l’autre pour une raison de compatibilité des formats. Par exemple : 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 = 0 0 = 0 1 0 1