Anneau euclidien

Devoir surveill´ de g´ om´ trie e e e ˆ Sujet A. Dur´ e 2h. Les exercices sont ind´ pendants et peuvent etre trait´ s dans n’importe quel ordre. Une dur´ e e e e e ` (plutˆ t optimiste...) est fournie a titre indicatif. Il n’est pas n´ cessaire de traiter tout le sujet pour avoir la note maximale. o e Exercice 1: Trigonom´ trie√ √ e (30mn) π π π e On rappelle que cos( 12 ) = 2+ 6 . En d´ duire les valeurs suivantes : sin( 12 ), tan( 12 ), cos( −π ), sin( 11π ) , sin( 5π ), 4 12 12 12 23π tan( 12

Le Th´or`me de Pythagore e e Exercice 1 Compl´ter avec des entiers : e 16 = ...... ; 225 = ...... ; 17 = ; 3187842 = ...... ; 900 = ;   3 ¨2 = ...... . Exercice 2 Tracer un triangle IKS rectangle en S. Marquer M, pied de la hauteur relative ` l’hypot´nuse. a e ´ Ecrire la relation de Pythagore dans chacun des triangles IKS, SMK et IMS. Exercice 3 Calculer la longueur des diagonales d’un rectangle RSTU de dimensions 13 cm et 8 cm. Exercice 4 1. Tracer un triangle IJK rectangle

12 x 2 + px = q px + q = x 2 x 2 + q = px où tous les coefficients sont strictement positifs, la technique de résolution et sa justification telles que les a proposées Al-Khwarismi. Cette solution effectuée dans le cadre de la géométrie euclidienne ne prend pas en compte une éventuelle racine négative. 1 2 De son nom déformé vient le terme d’«algorithme». De ce procédé vient le terme d’«algèbre». I- « DES CARRÉS ET DES RACINES SONT ÉGAUX À UN NOMBRE » x2 + px = q 1) Méthode de résolution

La perpendiculaire est le bijou distinctif du 2ème Surveillant ayant en charge les Apprentis. Je vais essayer d’en parler selon différents aspects. Plan opérationnel : En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin Per-Pendiculum qui veut dire Fil à plomb. Mais quand est-il vraiment d’un Fil à Plomb. Il s’agit d’une masse pesante de petit volume, pendue à l’extrémité d’un cordonnet

Chapitre de Géométrie dans l’espace Objectifs Nous allons tenter à travers ce chapitre de nous familiariser avec ce que l’on appelle la dimension 3 : l’espace. Une des plus grandes difficultés sera de parvenir à « voir » des figures spatiales, alors qu’elles sont tracées sur une feuille (donc un plan), c’est-à-dire en dimension 2. A ce propos, nous rappellerons quelques règles de perspective cavalière, ainsi que les pièges qu’il faudra éviter. Les exigences relatives à ce chapitre sont nombreuses

1 GEOMETRIE DANS L’ESPACE Avant tout, rappelons une propriété fondamentale : Tout théorème de Géométrie plane s’applique dans n’importe quel plan de l’espace. 1 ) VECTEURS DE L’ESPACE Les définitions et propriétés des vecteurs du plan s’étendent à l’espace. Comme dans le plan, à tout couple de points A et B de l’espace, on associe le vecteur AB . ABCDEFIJ est un cube EGHJKLMN est un parallélépipède rectangle tel que HM = CI et JH = 2JI Les exemples de ce chapitre se réfèrent au dessin

Ch 7 Produit scalaire – Applications : calcul de grandeurs Correction des « brèves de cours » p. 101 (Maths 1re – Coll. Terracher) Ex 67 Pour quelle valeur du réel a, les vecteurs [pic] et [pic] sont-ils orthogonaux ? On a [pic] d’où, dans un repère (O ; [pic] ; [pic]), les coordonnées de [pic] : (– 1 ; 3). On a [pic] d’où, dans un repère (O ; [pic] ; [pic]), les coordonnées de [pic] : (a – 1 ; 3). [pic] et [pic] sont orthogonaux équivaut à : [pic] qui équivaut à : (– 1)[pic](a – 1) + 3[pic]3

par exemple étudier la chute des mobiles sur les plans inclinés relativement à des règles qui rapportent l'angle du plan incliné, la vitesse d'accélération du mobile, etc., fait usage de rapports proprement mathématiques, issus de la géométrie euclidienne, et s'attache donc, de la même manière, à des connaissances a priori. Dans cette perspective, il apparaît que l'enjeu de la fameuse question « comment des jugements synthétiques a priori sont-ils possibles ? » est d'avérer que la physique ne peut

C’est ´videmment une relation d’´quivalence, et l’ensemble quotient est not´ Z/nZ. La e e e partition de Z associ´e ` cette relation est la famille ` n ´l´ments e a a ee Ar = r + nZ = {r + nq}q∈Z , 0 ≤ r ≤ n − 1. Remarquons que la division euclidienne permet de d´montrer ce fait: si m est un entier, il e existe un unique couple d’entiers (q, r) tel que m = nq + r, 0 ≤ r ≤ n − 1. 5 Commentaire. La relation d’´quivalence pr´c´dente est compatible avec la structure d’ane e e a e neau de Z

11.Le type entier Déclaration d’une variable du type entier : Var noteCtrl :entier Affectation de la variable noteCtrl : noteCtrl15 noteCtrl6 Opérations permises sur les entiers : Addition + Soustraction – Multiplication * Division euclidienne / partie entière : div et reste de la division appelé modulo : mod Exemple : Var x,y,z :entier x11div2 ; //x vaut 5 x11mod2 ; //x vaut 1 y3/10 ; //Attention y vaut 0 12.Le type Réel Déclaration du type réel : Var noteCtrl