Anneau euclidien

2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format (p, q) et

1 Prérequis A Repérage sur une droit graduée, dans le plan repéré À savoir Sur une droite graduée, on peut repérer un point par son abscisse ; réciproquement chaque nombre réel correspond à un point de la droite, point dont il est l’abscisse. Exemple A Sur l’axe gradué ci-dessous : B C O 0 I 1 D E le point A a pour abscisse ( −3 ), le point B a pour abscisse ( −2, 5 ), le point C a pour abscisse ( −1), le point D a pour abscisse ( 2 ), le point E a pour abscisse ( 4 , 25 ) environ

l’affichage comporte huit chiffres, elle ne peut pas afficher de nombre supérieur à 99 999 999) ; • en plus des touches usuelles (chiffres, 4 opérations, signe pour l’obtention du résultat), comporter des touches parenthèses et une touche pour la division euclidienne permettant d’obtenir l’affichage du quotient et du reste entiers ; • ne pas comporter de touches [%], ni de touche de changement de signe [±] ; • permettre de stocker un résultat partiel ; • offrir la possibilité de définir, mémoriser et rappeler un

PUISSANCE D'UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE UNE PROPRIÉTÉ C est un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite D passant par I coupe le cercle C en deux points A et B. ® ® Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA . IB est indépendant de la droite D. ® ® 2 2 On considère le point A' de C diamétralement opposé à A. Démontrer que IA . IB = IO – R Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C. APPLICATION D'un point

Changement de bases 1. Position du problème On considère un espace vectoriel de dimension , dont on connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de

mathématiques, les Éléments. Euclide se distingue également en théorie des nombres, démontrant notamment que l’ensemble des nombres premiers est infini. Il est aussi le premier à pratiquer la division avec le reste, appelée aujourd’hui division euclidienne.

Examen d’algorithmique Mercredi 20 décembre 2006 Les différentes parties sont indépendantes. Lisez tout le sujet avant de commencer N’hésitez pas à travailler sur un brouillon avant de recopier ! L’opérateur modulo (reste de la division entière) sera noté avec le symbole pourcent (%). En plus de vos algorithmes, donnez des commentaires sur ce que vous faites. De même, si vous n’avez pas toutes les étapes d’un problème, rajoutez un texte explicatif de ce qui manque. Documents autorisés : cours

les produits des a e e tables de multiplication. Si l’on ne prend en compte que les premiers chiffres des produits, une loi de r´partition remarquable peut ˆtre mise en ´vidence (loi de Benford). e e e Exercice 6** 1. En effectuant une division euclidienne, on obtient : 1 = 0, 0588235294117647 0588235294117647 . . . 17 Chiffres Fr´quences e 0 1 16 1 2 16 2 2 16 3 1 16 4 2 16 5 2 16 6 1 16 7 2 16 8 2 16 9 1 16 2. Il suffit de choisir le nombre r´el : e x = 0, 0123456789

dimension 3 4.5.1 Equation du plan passant par un point 3 P0 et ayant vecteur normal n . . . . . 4 TABLE DES MATIÈRES 4.5.2 Droites dans l'espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5.1 Espaces de dimension 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.3 65 65 65 66 67 68 69 70 71 71 72 72 75 76 77 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

le tableau ci-dessous : A 0 N 13 B 1 O 14 C 2 P 15 D 3 Q 16 E 4 R 17 F 5 S 18 G 6 T 19 H 7 U 20 I 8 V 21 J 9 W 22 K 10 X 23 L 11 Y 24 M 12 Z 25 a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de Ω le reste de la division euclidienne de (an + b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante. Exemple : pour coder la lettre P avec a = 2 et b = 3, on procède de la manière suivante : étape 1 : on lui associe l’entier n = 15. étape 2 : le reste de la division de