Anneau euclidien

l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation x = 0 ? − − → → Représenter cette intersection dans le repère O ; j ; k . 3. Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels. a. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de x2 par 7 ? b. Démontrer que 7 divise x2 + y 2 si, et seulement si, 7 divise x et 7 divise y. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Existe-t-il

GEOMETRIE DANS L’ESPACE Tout théorème de géométrie plane s’applique dans n’importe quel plan de l’espace. Tout le cours sera illustré d’exemples qui se rapporterons au dessin ci dessous. ABCDEFIJ est un cube EGHJKLMN est un parallélépipède rectangle tel que HM = CI et JH = 2JI A K E F L G B B N J M I C H D 1. Vecteurs de l’espace Les définitions et propriétés des vecteurs du plan s’étendent à l’espace. !!!" Définition : à tout couple de points A et B de l’espace, on associe

MPSI 1 Devoir en temps libre no 22 2005-2006 Espaces euclidiens A rendre le lundi 24 avril Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i). Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi

(parmi lesquels Léonard de Vinci) ont imaginé des centaines de démonstration. Dans un livre, « The Pythagorean » proposition, Elisha Scott Loomis en a réuni 370. Le théorème de Pythagore : Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème est nommé d’après Pythagore

EST Essaouira - Université Cadi Ayyad TM1 & AGT1 Introduction 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Le traitement automatique de l’information est aujourd’hui une discipline incontournable. • Les ordinateurs ne serviraient à rien en effet si l’on ne s’était doté des outils permettant de concevoir et implanter les traitements que l’on souhaite effectuer. 1 15/10/2010 2 EST Essaouira - Université Cadi Ayyad TM1 & AGT1 Définitions 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 •

TD/TP n°1 : Prise en main de l'environnement de programmation ; 1. Ecrire un programme en langage C qui déclare deux variables entières x et y, leur affecte les valeurs 5 et 23 et affiche (sur des lignes différentes et avec les commentaires adéquats) : - la somme, puis la différence, de x et de y ; - le quotient, puis le reste, de la division entière de y par x ; 2. Ecrire un programme en langage C qui récupère les notes de trois matières, saisies au clavier par l'utilisateur, et calcule

pas un nombre premier ; 43 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 7 × 6 + 1, le quotient 6 est inférieur au diviseur 7, donc 43 est un nombre premier ; 89 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. 89 = 11 × 8 + 1, le quotient de la division euclidienne de 89 par 11 est 8 ; il est inférieur au diviseur 11 donc 89 est un nombre premier ; 101 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. Le quotient de la division de 101 par 11 est 9. 9 étant inférieur à 11, le nombre 101 est un nombre premier ; 197

Enoncés Division euclidienne Exercice 25 [ 02141 ] [correction] Soit (a, b) ∈ K 2 tel que a = b et P ∈ K [X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) en fonction de P (a) et P (b). Exercice 26 [ 02142 ] [correction] Soient a ∈ K et P ∈ K [X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)2 en fonction de P (a) et P (a). Exercice 27 [ 02143 ] [correction] Soient t ∈ R et n ∈ N . Déterminer le reste de la division euclidienne dans R [X] de (X

utile en calcul mental, pour regrouper les facteurs dont le produit est égal à un multiple de 10notamment. 4×2×5×25=4×25100×5×2=100×5500×2=500×2=1000 La multiplication d'un nombre par 0 est égale à 0. VLa division ALa division euclidienne Dans la division de a par b, le nombre a est le dividende , le nombre b est le diviseur. Le résultat est le quotient, et peut être accompagné d'un reste : dividende=diviseur×quotient+resteOn écrit aussi : a=b×q+rEt on pose : dividende diviseur

Calcul intégral Pour calculer l'aire de la surface comprise entre une courbe et l'axe des abscisses, on peut approcher cette surface par une série de bandes rectangulaires de largeur infinitésimale. L'intégrale de la fonction représentée par cette courbe est, au signe près, égale à la somme de leurs aires. L'intégration est donc un outil précieux pour calculer l'aire de surfaces délimitées par des courbes dont on connaît les équations, mais aussi de volumes dont on connaît les éléments du