Anneau euclidien

est rectangle 4) On désigne par x et y deux entiers naturels non nuls vérifiant : 2x = 3 y et x un entier pair Le reste de la division euclidienne de y par 4 est : a) 2 b) 1 c) 0 Exercice 2: (5points) 1° a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n  0, le reste de la division euclidienne de 2 4 n par 5 est égal à 1. b) En déduire le reste de division euclidienne par 5 de chacun des nombre 2 2010 et 2 2011 2° On désigne par (x n ) et ( y n ) les suites définies sur IN par : x n = 2 n1 + 1 et y

d’EUCLIDE(pour deux entiers naturels non nuls) Le théorème fondamental montre que l’on peut ramener la recherche du PGCD(a ;b) à la recherche du PGCD(b ;r) où b et r sont des entiers plus petits. On voit bien que le travail effectué sur a et b (division euclidienne) peut être recommencé sur b et r puis sur r et le nouveau reste obtenu et ainsi de suite….. Plus précisément : Soient a et b deux entiers naturels non nuls, a>b Si b divise a, PGCD(a ;b)= b Si b ne divise pas a : a = bq1 + r1 avec 0 < r1 < b on

Ch 6 Nombres complexes Correction des exercices type Bac Exercice 5 Bac S – Amérique du Sud – Nov. 2005 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; [pic] ;[pic] ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ =[pic], où [pic]désigne le nombre complexe conjugué de z . 1) Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Un point M d’affixe z est invariant par f si, et

Exercices Algorithmique 1 Exercices Algorithmique Exos :Variables Exercice 1.1 Quelles seront les valeurs des variables A et B après exécution des instructions suivantes ? Variables A, B : Entier Début A←1 B←A+3 A←3 Fin Exercice 1.2 Quelles seront les valeurs des variables A, B et C après exécution des instructions suivantes ? Variables A, B, C : Entier Début A←5 B←3 C←A+B A←2 C←B–A Fin Exercice 1.3 Quelles seront les valeurs des variables A et B après exécution des instructions suivantes

Clairement, si F est un sous-espace de E stable par un endomorphisme u sym´trique, e antisym´trique ou orthogonal, F est aussi stable par u∗ . On montrera (Lemme 8) que ce r´sultat est e e en r´alit´ vrai pour tous les endomorphismes normaux d’un espace euclidien de dimension finie. e e Remarques (dimension finie). • Si E est de dimension finie tout endomorphisme admet un adjoint, et si B = (e1 , · · · , en ) est une base de E, si Ω = (φ(ei ), φ(ek )) est la matrice (inversible) de φ dans E dans B, la matrice

Chapitre 4 : PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE Compétences : Connaître et savoir appliquer les propriétés du produit scalaire dans le plan Savoir définir le produit scalaire dans l’Espace Connaître et savoir utiliser les propriétés du produit scalaire dans l’espace Partie A : LE PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN 1 Définitions Soit u → v deux vecteurs et trois points A, B et C du plan vérifiant u = AB et v = AC . et → → → → → Si → = → ou → = → alors u . v = 0. u 0 v 0 Si u ≠ 0 et

Montrer que, si M est un point de l’axe des réels, différent de O et de A, alors M’ appartient à la droite (CD). EXERCICE 4 : spécialistes (5 points) 1. a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7n. b. Démontrer alors que (2005)2005 ≡ 7 (9). 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : (10)n ≡ 1 (9). b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix c’est à dire : N = [pic]= [pic]et on appelle S la somme de

ALGORITHMIQUE Langage structuré A. Définition C’est un langage simplifié qui utilise quelques mots clé avec des conventions d’utilisations précises. B. Notion de base : l’instruction Définition : une instruction (ou plusieurs instructions) sont des ordres qui donne la description non ambigüe d’une ou plusieurs actions élémentaires à effectuer dans un ordre déterminé. Une suite d’instruction formera un bloc délimité par des mots DEBUT et FIN. Un bloc peut contenir d’autres blocs qui

strictement inférieur à n . Le mot FERMAT est représenté par la liste  6,5 ,18 ,13 ,1 ,20  . On crypte x en le remplaçant par le reste de la division euclidienne de x e par n . • Vérifier que le cryptage du mot FERMAT est  30,14 ,6 ,7 ,1 ,26  • Crypter le mot ARITHMETIQUE. 4) Décryptage. On décrypte y en le remplaçant par le reste de la division euclidienne de y d par n . • Vérifier que le décryptage de  30,14 ,6 ,7 ,1 ,26  est FERMAT • Décrypter le mot  29,6 ,1 ,22 ,27 ,3  5) Comprendre le RSA.

2 2 ; zB = − 1 3 + i 2 2 et z C = z B − z A 1) Soit z un nombre complexe vérifiant : z + 2z = 11 + 8i alors l’écriture cartésienne de z est : a) z = 4 + 3i b) z = 3 − 4i c) z = 3 + 4i 2) L’écriture 71 = 7 × 9 + 8 est la division euclidienne de 71 par : a) 8 b) 9 c) 7 3) Soit l = lim a) b) c) 1) a) Ecrire z A et z B sous forme trigonométrique. b) Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle. 2) a) Montrer que OABC est un parallélogramme. b) En déduire la forme trigonométrique