Anneau euclidien

´l´ment de la base canonique de P2 dans cette nouvelle base. ee (a) Montrer que la famille constitu´e des 3 polynˆmes ci-dessus est une famille libre de e o P2 . (c) Trouver toutes les racines de p. (Indication : on pourra effectuer une division euclidienne de polynˆmes) o o a e e e e 4. On consid`re l’ensemble P des polynˆmes (` coefficients r´els) de degr´ inf´rieur ou ´gal e ` 3 de la variable r´elle x. a e (a) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions continues

solution particulière de 6x + 7y = 57. b. y = 2p + 1 avec p ∈ N. l’quation devient 6x + 7(2p + 1) + 8z = 57 ⇐⇒ 6x + 14p + 8z = 50 ⇐⇒ 3x + 7p + 4z = 25 ⇐⇒ 3x + 3p + 4p + 4z = 25 ⇐⇒ 3(x + p) + 4(p + z) = 25. (2) p + z = 3q + r Dans la division euclidienne de (p + z) par 3 on a : 0 r 0 et u(1) < 0. La calculatrice livre : u(0, 63) ≈ 0, 08 et u(0, 64) ≈ −0, 007. Donc d’après le théorème ci-dessus 0, 63 < α < 0, 64. Réponse α ≈ 0, 64 10−2 près par excès. c. Le tableau donne donc le signe de u : x <

cours Chaque question de cours comportera un ´nonc´ de cours (th´or`me, d´finition, propri´t´s ...) et une e e e e e ee d´monstration ou la pr´sentation d’un exemple. e e 3. ch.11 : 3..1 Z Pr´sentation, propri´t´s e ee (*)Division euclidienne dans Z. D´mo ` partir de la DE dans N. e a (*)Corollaire : a congru ` b modulo n ssi le reste de la DE de a par n est ´gal au reste de la DE de b par n. a e D´monstration. e (***)Th : sous groupes de Z, +. D´monstration. e 3..2 3..2.1 R

Baccalauréat S A. P M. E. P . . Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009, c’est-à-dire tel que n 3 ≡ 2009 mod 10000. Partie A 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20092 par 16. 2. En déduire que 20098 001 ≡ 2009 mod 16. Partie B On considère la suite (un ) définie sur N par : u0 = 20092 − 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (un + 1)5 − 1. 1. a. Démontrer que u0 est divisible par 5. b. Démontrer, en

en géométrie plane * 2 Perpendicularité dans l'espace * 2.1 Droites perpendiculaires * 2.2 Droite perpendiculaire à un plan * 2.3 Plans perpendiculaires * 2.4 Notion générale de sous-espaces perpendiculaires en géométrie euclidienne * 3 Voir aussi * 3.1 Article connexe | 2. Perpendicularité en géométrie plane[modifier] Le segment PQ en bleu est perpendiculaire au segment AB : 1. prendre un compas, 2. piquer la pointe sèche du compas sur P et tracer l'arc de

PSI∗ Lycée Jean Perrin Colles maths du 13 décembre Espaces préhilbertiens réels et euclidiens Révisions suites et séries de fonctions E est un R-espace vectoriel 1 Produit scalaire 1.1 Formes bilinéaires symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo)

division euclidienne par 2 est donc 1. Si k ≥ 1, 10k = 2 × (5 × 10k-1), 10k est donc divisible par 2 ; le reste de sa division euclidienne par 2 est 0. On a donc pour tout k > 0, 10k ≡ 0 [2], donc ak 10k ≡ 0 [2]. On en déduit que N ≡ a0 [2]. Ainsi N et son chiffre des unités ont le même reste dans la division euclidienne par 2, d’où le critère. c. Un nombre n 1 0 a ...a a est divisible par 4 si et seulement si 1 0 a a l’est. d. Si k = 0, 10k = 1, le reste de sa division euclidienne par 4 est

[Homothetie et translations Translaton: z'=z+b Si on a z + xi + y , translation Homothetie: Z'=k(z-omega)+omega Si on a kz: homothetie ou k pas egale a 1 Cas particulier: Si on a kz + xi +y : on recherche l'ensemble des point invariants en resolvant z'=z z=kz + xi +y omega(...+...i) Donc ... admet un unique point invariant omega daffixe w(...+...i) on a donc z'=kz + xi +y w=kw + xi +y En effectuant une sousttraction membre a membre , on obtient : z'-w=k(z-w) Donc cette

produit scalaire (première) Produit Scalaire : Rappels et Applications I. Définition du produit scalaire Définition 1) Le produit scalaire de deux vecteurs Si ou alors On appelle carré scalaire et on note 2) En notant et non nuls est le réel, noté (ou ) défini par : le produit scalaire et H le projeté orthogonal de B sur (IA) : II. Calcul Quels que soient les vecteurs a) b) c) d) e) et les réels et : III. Orthogonalité IV. Vecteur normal Un vecteur non nul est dit normal à

entiers associés ont les même diviseurs et les même multiples. Dans les problème de divisibilité, on peut donc sans inconvénient raisonner à un facteur inversible près. Concrètement, on pourra toujours se ramener à des entiers positifs. 2  Division euclidienne 3  Sous-groupes de (Z,+) Soit a∈Z. On note aZ:={an,n∈Z}={b∈Z, a|b} l’ensemble des multiples de a. C’est un ensemble infini, sauf si a=0. On a 0Z={0}, 1Z=Z. Pour tout a∈Z, aZ=(−a)Z. Proposition 4   Soit a∈Z. Alors : * a divise 0. * Si