Approximation affine

La pression exercée sur l’outil scripteur : des feuilles plutôt épaisses, donner des crayons, des craies rétractables, surtout, on commence par les doigts. Renvoie au développement moteur. Au cours de l'école, on affine les demandes pour préciser les gestes. Le dessin dépend de la maturation musculaire et des expériences de l’enfant, sensorielles ou cognitives, souvent des différences marquées entre les enfants. Globalement 2 études : développementale et clinique

fonctions usuelles et leurs domaines de validité. • Les formules de dérivation d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de fonctions dérivables. • Les formules de dérivation d’une composition de fonctions en particulier : exp(u), ln(u) et uα. Approximation affine locale • Pour une petite variation h de la variable à partir de a : f (a + h) − f (a) f ' (a) ≈ h • On peut alors écrire pour h proche de 0 : f(a + h) ≈ f(a) + h f’(a) • Exemples classiques : f:xa 1 1 ; a =1 ; ≈1−h x 1+h g : x a x α (α

[ 2π ] et 4 3 a) t et v sont colinéaires ( ) ( ) ( w, v ) ≡ 5π [2π ] 12 b) t et w sont colinéaires c) u et v sont colinéaires 3) Soit f une fonction dérivable sur ]− 1,+∞[ telle que : f ( x ) = −2 x + 1 et f ' ( x ) = Alors une approximation affine de : − 2 4,0001 est : a) b) c) −1 x +1 − 4,00005 4,00005 − 3,00005 4 

les valeurs f ( x ) seront très proches des valeurs obtenues à partir de la fonction affine représentée par la droite tangente d’équation y = f '(a )( x − a ) + f (a ). Définition 4 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle I. Si la fonction f est dérivable en a, on dit que la fonction affine x → f '(a )( x − a ) + f (a ) est l’approximation affine de f en a. Commentaire Au voisinage du point A, la courbe et la tangente en A sont

variables. Nuage de points. Ajustement affine. Capacités attendues Commentaires On accompagne ce travail d’un  Représenter graphiquement un nuage de points associé à une série entretien des capacités sur les statistiques à une variable de la classe statistique à deux variables. de première.  Trouver une fonction affine qui exprime de façon approchée y en fonction de x.  Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler. L’ajustement affine est réalisé graphiquement ou par la méthode

l’air s’effectue sans frottement, d’après le théorème du centre d’inertie, le vecteur accélération du centre de la balle doit être égal au vecteur champ de pesanteur de norme g = 9,8 m/s 2. La composante vy du vecteur vitesse est donc une fonction affine de la date t (entre chaque rebond). •Les valeurs expérimentales ne sont pas rigoureusement égales à 9,8 m/s 2 car : – les « pointés » n’ont pas toujours été bien faits par les élèves, – L’image verticale contient 240 pixels pour une hauteur de 1,2m

distinctes ou non de la variable. Si cette variable prend p valeurs distinctes (p”Q x1,…,xp , d’effectifs respectifs n1,…np alors la moyenne est donnée par : x = ∑ n ix i i=1 p (2) Propriété si pour tout i, on peut opérer un changement de variable affine du type : xi = aXi + b alors x = aX + b. (3) La variance p 1 2 Elle est donnée par la formule : : V = ∑ n i(xi − x) . n i=1 (4) L’écart-type Jean-Michel BERNABOTTO 1 Cours de statistiques d’IUT Il est donné par la formule : σ = V

à 2006. Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Rang xi 1 2 3 4 5 6 Nombre d’adhérents yi 70 90 115 140 170 220 On cherche à étudier l’évolution du nombre y d’adhérents en fonction du rang x de l’année. PARTIE A : un ajustement affine. 1. Dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l’axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série  xi , yi  2. Calculer le coefficient

0, x est une suite de n valeurs de l’intervalle [(n – 1)h ; 0], contenu dans [b ; 0], de premier terme 0 et de pas h. A partir d’une subdivision dans l’intervalle [0 ; b] ou [b ; 0], l’algorithme suivant construit une suite y qui contient les approximations obtenues par la méthode d’Euler, à savoir, yi est l’approximation de f(xi) (où i ∈ IN). ALGORITHME Algorithme d’Euler VARIABLES n, h, b : nombres réels DEBUT Saisir b. Saisir h. b n prend la valeur la partie entière de . h x prend la valeur 0

nous choisissons une subdivision régulière de l'intervalle [a,b] en n sous-intervalles [xi,xi+1] avec i variant de o à n : xo = a < x1< x2 < ... < xn = b, on a xi+1 - xi = (b - a)/n. La somme des aires colorées en jaune pointé représente une approximation J de l'intégrale I. Chaque aire est celle d'un trapèze de hauteur xi+1 - xi, de bases respectives f(xi) et f(xi+1). On obtient ainsi la formule suivante : Démonstration : Considérons alors une subdivision de l'intervalle [a;b] de pas