Approximation affine

Une fonction f n’est pas d´rivable en x0 lorsque sa courbe repr´sentative e e admet en ce point une tangente parall`le ` l’axe des ordonn´es. e a e 1 Vade-mecum sur la d´rivation e www.mathforu.com 3 D´riv´es usuelles e e Fonctions affines. Soit f : x → a x + b. Alors, pour tout x, f est d´rivable e et on a f (x) = a. En particulier, la d´riv´e de la fonction f : x → x est f (x) = 1 pour tout x. e e Fonctions puissances. Deux cas particuliers avant le cas g´n´ral. e e 2 – Soit f : x

dérivé en un point d'une fonction à variable et valeurs réelles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point. (Ce nombre n'est donc défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe.) La dérivée en un point d'une fonction à plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée

0] U [0, 2] (avec σ = 0.1 et σ = 2.1) 1. Méthode des Trapèzes La méthode des trapèzes consiste à approcher à gauche I pour l’approximation de g par une fonction affine sur caque intervalle [xi, xi+1] pour tout i Є {0,……,N} et qui coïncide avec f en xi et xi+1. Cette méthode donne une meilleure approximation par rapport à celle des rectangles à gauche ou à droite qu’on n’étudiera pas ici. 2. Méthode Romberg On considère deux subdivisions régulières de [a, b], l’une

CQFD 2) Approximation affine locale L'approximation affine consiste à remplacer, au voisinage d'un point d'une courbe, cette courbe par une droite. Pour y arriver, le meilleur choix est de prendre pour cette droite la tangente en ce point. En effet, elle est celle qui se rapproche le plus, qui "suit" le mieux la courbe en ce point. Ceci est utile car il est toujours plus facile de calculer des points sur une droite que sur une courbe. Par extension, on peut aussi faire des approximations par des

comment utiliser ces résultats pour modéliser des treillis bidimensionnels L’élément fini barre Approximation : Considérons un élément de longueur eℓ Le repère local de l'élément est orienté du nœud i vers le nœud j. ji (e) iu ju x � Les deux variables nodales sont les déplacements notés ( , )i ju u dans la direction x � Le champ de déplacement sur l'élément sera construit sur une approximation polynomiale à deux paramètres de la forme ( )1 ( , ) 1 2 ( )2 1 , t x t t a u a a x x a   =

. . . . . . . . . . . . e 2.2.2 Th´or`me de Lax-Milgram . . . . . . . . . e e 2.2.3 Retour a l’exemple 1-D . . . . . . . . . . . ` 2.2.4 Remarque: condition inf-sup . . . . . . . . 2.3 EDP elliptiques d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Approximation interne . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Principe g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.4.2 Interpr´tation de uh . . . . . . . . . . . . e 2.4.3 Estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . 2.5 Principe g´n´ral de la m´thode des ´l´ments

  il  faut  faire  appel  à  un  modèle  plus  raffiné,  souvent  plus  compliqué :  ici,  la  loi  de  la  gravitation  universelle  est  insuffisante  pour  expliquer  le  retard  pris  par  le  pendule  de  Jean  Richer,  le  modèle  va  être  affiné  en  tenant  compte d’une part de l’influence de la rotation de la Terre et d’autre part de la  forme de la Terre.     L’activité  commence  par  un  document  trouvé  sur  internet  qui  illustre  le  fait  que  la  pesanteur  terrestre  est  un 

n’a pas encore ´t´ ee h Remarque : Il ne faut pas ´crire (( lim e h 0 justifi´e. e 2. Meilleure approximation affine Th´or`me 1 e e f ½ Ôx0 Õ. f est d´rivable en x0 si et seulement si il existe un r´el l tel que f Ôx0   hÕ e e lim ǫ 0. 0 f Ôx0 Õ   lh   hǫÔhÕ avec Alors l Remarque : on parle d’approximation affine car on remplace la fonction h f Ôx0   hÕ par la fonction affine h f Ôx0 Õ   f ½ Ôx0 Õh. L’erreur commise en effectuant ce remplacement est hǫÔhÕ. Cette erreur n’est petite

Par définition, on appelle e le nombre égal à exp(1). 1- Approximation de e par la méthode d'Euler On va construire une suite de points Mn(xn, yn) tels que les yn soient des approximations de exp(xn). Pour choisir les valeurs de xn on utilise un pas h et on part de 0. La suite xn sera donc une suite arithmétique de raison h et de premier terme x0 = 0, et on aura xn = nh. Pour définir la suite yn on utilise une approximation affine : exp(xn+1) = exp(xn + h) exp(xn) + h.exp(xn) = exp(xn)(1

(21) xj ≡ yj er T − 1 ≤ x = 1 < xj+1 ≡ yj+1 er T − 1 . rT rT Puis nous ´valuons la valeur uN (T, 1) ` partir des valeurs calcul´es vm avec e a e la m´thode des diff´rences finies grˆce ` une interpolation de Lagrange affine, e e a a parabolique ou cubique. Dans le cas d’une interpolation affine, nous utilisons les valeurs vj et vj+1 ainsi que le coefficient d’interpolation naturel associ´ e 7 a ` la relation (21). Dans le cas d’une interpolation parabolique, nous utilisons le triplet (j − 1, j, j + 1)