Arc tangente

multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 4 Tangente à une courbe paramétrée. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5 2.1 Tangente à un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 : f est la fonction définie sur R par f(x)=x³-2 1) Développer f (2+h) où h est un réel quelconque 2) En déduire que f est dérivable en 2 3) Donner une valeur approchée par approximation affine de f (2,003) 4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse 2. 5) Démontrer que pour -1≤h≤1, l’erreur commise en remplaçant f (2+h) par f (2) +hf’ (2) est majorée par 7h².

u'v+v'u (2 formules différentes a multiplier entre elles) (u/v)'=u'v-uv'/v au carré (1/v)'= - v'/v au carré 3)Calcul de l'équation de la tangente Si f est dérivable en a dans un repère, la tangente T à la courbe représentative C de f en a est la droite qui a pour coefficient directeur f' (a) et qui passe par le point de coordonnées (a; f(a)). La tangente en a à f a pour équation y = f(a) + f'(a)(x-a). 4) SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION Si pour tout x appartient à I , f est croissante

nature des branches infinies et superposer le trac´ de la courbe ` celui des asymptotes. e a Exercice 2 Soit C l’astro¨ d’´quation ıde e x(t) y(t) = = cos(t)3 sin(t)3 D´terminer le lieu g´om´trique des points du plan tels qu’on puisse mener deux tangentes ` C orthogonales e e e a et le repr´senter. e 3 Courbes en coordonn´es polaires e Le trac´ de courbes en polaires ρ = f (θ) en Maple se fait ` l’aide de la commande polarplot ou bien e a de l’option coords=polar de la fonction plot. Par

f . Les questions posées seront résolues par lecture Graphique. * Les points A(1 , 0) et D(0 , 1) appartiennent à la courbe ( Cf. ) . * La demie tangente droite (T1) en A à la courbe ( Cf ) passe par le point C( 2 ; 3). * La demie tangente gauche (T2) en A à la courbe ( Cf ) passe par le point B( -1 ; 5). * La tangente à la courbe (Cf.) au point D d’abscisse 0 est parallèle à l’axe des abscisses. T1 T2 Encercler la lettre correspondant à la réponse chois sur l’annexe

suivant le signe de . Le tableau est le suivant : Equation de la tangente : Souvent, dans les exercices, on te demandera de donner l'équation de la tangente à la fonction f en un point x = a, c'est à dire de donner l'équation de la droite rouge, qui touche la courbe de f au point d'abscisse x = a. La droite rouge est une droite, son équation s'écrit donc . D'après le cours sur les dérivées, le coefficient directeur de la tangente en un point est égal à la dérivée de f en ce point. Donc l'équation

dérivable en a . On appelle C la représentation graphique de f dans un repère. La courbe C admet une tangente au point d'abscisse a et f '(a) est le coefficient directeur de cette tangente. Une équation de la tangente au point d'abscisse a est y = f '(a)(x – a)+ f (a). Exemple Soit f la fonction définie par f(x) = x² – 2. Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4. L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x – 2) + f(2) soit y = 4(x – 2) + 2 soit y = 4x – 6. La fonction est une

CHAPITRE II Limite d’une fonction Cons´ quences sur sa repr´ sentation graphique e e • On a lim f (x) n’existe pas : il est n´ cessaire de pr´ ciser la facon de faire tendre x vers 0. e e ¸ x−→0 Pour que cette limite ait un sens, x ne doit pas ≪ traverser ≫ l’ensemble de d´ finition de la fonction. e Exercice 1. D´ terminer les limites suivantes en s’aidant d’un graphique. e (1) lim 3x2 + x − 1 x−→+∞ (2) lim x2 − x + x−→−∞ 1 x (3) lim √ x−→2 4x − 1 (4) lim x−→+∞

par le point A(0 ; 5)  la tangente à (C) au point A est parallèle à l’axe des abscisses ;  la tangente à (C) au point B d’abscisse 1 a pour coefficient directeur – 3. Etudier les variations de la fonction f ainsi obtenue. Tracer (C). Exercice 2 Soit h la fonction définie par h ( x ) droite d’équation y x . 4 x 4 1 ; x2 bx c x 2 et (C) sa courbe sa courbe représentative et la a) Etudier la fonction , dresser son tableau de variation et préciser la tangente à au point d’abscisse 2.

+ ex. On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé → → (O ; i , j ) (unité graphique : 1 cm). 1. Déterminer la limite de f en +∞ et en –∞. 2. Etudier les variations de f. 3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T à C a pour coefficient directeur 3. 4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α. Donner un encadrement de α d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x. 5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote