Arithmétique des polynômes

On note, pour j ∈ N et m ∈ N∗ , Tj (m) = m 1) Montrer que k=1 [(k + 1)n+1 − kn+1 ] = kj . k=1 n j=0 n+1 Tj (m). j 2) En déduire une formule de récurrence sur n permettant de calculer Tn (m). 3) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , Tn (m) est un polynôme de degré n + 1 en m qui s’annule en 0 et −1. Solution 1) En utilisant la formule du binôme, on a n+1 (k + 1)n+1 = j=0 donc n+1 j k , j n (k + 1)n+1 − kn+1 = j=0 n+1 j k , j EI 5 et m m k=1 [(k + 1)n+1 − kn+1 ] = k=1 On peut intervertir

x2 – 4x = (x – 2)2 + (– 4) donc les nombres sont 2 et – 4. 3 2 18 3 2 62 40 2x2 – 3x + 5 = 2΂x – ΃ – + 5 = 2΂x – ΃ – . D’où ᏿ = Ά · 3 31 ;– . 4 8 4 16 4 16 41 x2 – 8x + 4. 42 (2x – 3)(2 – x) = – 2x2 + 7x – 6 : a = – 2, b = 7 et c = – 6. POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ. FORME CANONIQUE 43 a) 2(x – 2)2 – 7. ΂ ΃ 1 2 13 b) – 3 x – + . 3 3 5 2 53 c) x + – . 2 4 3 2 9 d) – x – + . 2 4 ΂ ΃ ΂ ΃ 44 Corrigé dans le manuel. 45 1. a) f(x) = x2 – 9 – 2x2 + 2x + 12 = – x2 + 2x + 3. b) – (x – 1)2 + 4

que ker(T n ) est fermé pour tout n ∈ N. (2) Supposons que E est complet et que, pour tout x ∈ E, il existe n ∈ N tel que x ∈ ker(T n ). Montrer que T est nilpotent (c’est-à-dire qu’il existe d ∈ N tel que T d = 0). (II) Soit E = C[X] l’espace des polynômes complexes et notons pour P ∈ E, ∞ ||P|| = n=0 ||P(n) ||∞ (II.3) avec ||P||∞ = sup x∈[0,1] |P(x)| et P(n) la dérivée d’ordre n de P. Vérifier que ||P|| est bien une norme sur E. Soit T : E → E défini par T (P) = P , P ∈ E . Vérifier que

L'interprétation géométrique de l'aire sous la courbe rend intuitive pour une fonction positive certaines propriétés de l'intégrale : la linéarité, la positivité, les majorations. c) les calculs approchés de l'intégrale en interpolant f par des fonctions polynômes de degré 0, 1 ou 2 sont alors naturels puisqu'on approche une aire par une aire voisine. Pour rendre la définition "opératoire" la propriété suivante est nécessaire : « Soit ∆ le domaine sous la courbe Cf où f est continue et positive sur [a

1.9 (Continuité en un point, continuité sur un ensemble) Soit f : A ⊆ Ên → Êp et a ∈ A. On dit que f est continue en a si limx→a f (x) = f (a). On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A. Toutes les fonctions usuelles (polynômes, fonctions trigonométriques...) sont continues sur leur domaine de définition. Puisque la plupart des fonctions que l’on rencontrera seront construites à partir de ces fonctions usuelles, il suffira d’invoquer les “propriétés opératoires classiques”

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Signe d’une fonction affine 2. Factorisation 3. Signe du produit de deux fonctions affines 4. Signe d’une fonction homographique 2 ■ F5 Fonctions polynômes du second degré 1. Forme canonique 2. Étude d’une fonction trinôme 3. Représentation graphique GÉOMÉTRIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

interprété qui s'exécute dans une fenêtre dite d'exécution. L'intérêt de Matlab tient, d'une part, à sa simplicité d'utilisation : pas de compilation, déclaration implicite des variables utilisées et, d'autre part, à sa richesse fonctionnelle : arithmétique matricielle et nombreuses fonctions de haut niveau dans divers domaines (analyse numérique, statistique, commande optimale, représentation graphique, ...). Il est à noter que toutes les commandes sont en anglais et l'aide en ligne également ! On

Calcul commercial Suites PREMIERE PRO TERMINALE PRO Polynômes du second degré - Résoudre une équation - factoriser un polynôme et étudier son signe PARTIE I - Pourcentages - TVA - Formation des prix Equations, inéquations Systèmes Géométrie Propriétés des fonctions usuelles Dérivation - Nombre dérivé, tangente en un point d’une courbe - Fonction dérivée des fonctions : PROBLEMES NUMERIQUES ET ALGEBRIQUES 11 SE -Suites arithmétiques -Suites géométriques 8 SE 7 SE Dérivation -

cette matière d'œuvre afin de lui ajouter de la valeur. La matière d'œuvre entrante augmentée de sa valeur ajoutée est la matière d'œuvre sortante. La notion de valeur ajoutée est ici à prendre au sens le plus large et non pas au sens purement arithmétique. Selon le point de vue (cf. plus loin), et en particulier celui de l’automaticien, elle peut être associée à un changement de nature de la matière d'œuvre qui, entrante, peut par exemple être un ordre, puis, sortante, une action. La valeur ajoutée

montant après le dépôt est donc : u n+1 = ( u n − 120) + 0,1 ( u n − 120 ) = ( u n − 120 ) × 1,1 . B QCM – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique 1 a. Les dates sont espacées de la même durée de 10 ans. • 16,7 − 15,3 = 1,4 et 18,1 − 16,7 = 1,4 . La variation absolue est constante tous les ans : la consommation peut être modélisée par une suite arithmétique. 18,1 16,7 ≈ 1,09 et ≈ 1,08 . • 16,7 15, 3 Le coefficient multiplicateur n’est pas constant : la consommation ne peut pas être modélisée