Arithmétique des polynômes

MATHEMATIQUES ET STATISTIQUE MATHEMATIQUES 1 - Logique : a) Connecteurs ; b) Raisonnement par récurrence. 2 - Arithmétique : a) Division euclidienne, PGCD, algorithme d’Euclide ; b) Décomposition en facteurs premiers ; c) Entiers premiers entre eux, théorème de Bezout, théorème de Gauss ; d) Application à la cryptographie RSA. 3 - Polynômes : a) Division euclidienne, PGCD normalisé ; b) Racine d’un polynôme ; c) Décomposition en facteurs irréductibles. 4 - Suites et séries : a) Convergence d’une suite numérique

MATHEMATIQUES ET STATISTIQUE MATHEMATIQUES 1 - Logique a - Connecteurs. b - Raisonnement par récurrence. 2 - Arithmétique a - Division euclidienne, PGCD, algorithme d’Euclide. b - Décomposition en facteurs premiers. c - Entiers premiers entre eux, théorème de Bezout, théorème de Gauss. d - Application à la cryptographie RSA. 3 - Polynômes a - Division euclidienne, PGCD normalisé. b - Racine d’un polynôme. c - Décomposition en facteurs irréductibles. 4 - Suites et séries a - Convergence d’une suite numérique

mathématiques permettant de traiter de problèmes du second degré. Extrait du programme (Bulletin officiel spécial n° 9 du 30 septembre 2010) Contenus Capacités attendues Forme canonique d’une fonction polynôme de • Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate degré deux. d’une fonction polynôme de degré deux en vue Équation du second degré, discriminant. de la résolution d’un problème : développée, Signe du trinôme. factorisée, canonique. Corrigés des activités 1 Représentation graphique d’un

....... 185 CHAPITRE 1 Le second degré A Le programme Contenus Capacités attendues Commentaires Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. • Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de

http://www.trigofacile.com/ 1 Table des matières A Structures fondamentales A.1 Éléments de théorie des ensembles . A.2 Ensembles finis, monoïdes . . . . . A.3 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Arithmétique . . . . . . . . . . . . A.6 Le corps des nombres réels R . . . . A.7 Le corps des nombres complexes C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Relations métriques dans les triangles et figures géométriques Cercle et les relations trigonométriques dans les triangles rectangle Lecture des tableaux et des abaques Densité et masse volumique : calculs de débits et de poids Les progressions arithmétiques et géométriques Calcul polynomial Les équations et inéquations du 1er et 2ème degré Calculs afférents à l’équation de la droite Résolution des systèmes d’équation du 1er degré à N inconnues Les fonctions logarithmiques et exponentielles Les calculs

sur R. FICHE 5 – Fonctions dér ivables 29 Application Soit f n la fonction définie sur R par f n (x) = e−x x n où n ∈ N. Pour tout k ∈ N , montrez que la dérivée k-ième de f n s'écrit : f n(k) (x) = Pk (x) e−x où Pk est une fonction polynôme à expliciter. Si k n, calculez Pk (0). Solution f n est le produit de deux fonctions indéfiniment dérivables sur R. Elle est donc indéfiniment dérivable. Sa dérivée k-ième s'obtient à l'aide de la formule de Leibniz : k f n(k) (x) = k

NOMBRES COMPLEXES .................................................................................................. 45 CALCUL MATRICIEL ....................................................................................................... 47 ARITHMÉTIQUE ................................................................................................................ 48 ALGÈBRES DE BOOLE..................................................................................................... 50 ÉLÉMENTS

). En déduire les primitives de ln sur ] 0 ; + ∞ [. 13x + 1 a b 12°) f : x ֏ (on mettra d’abord f (x) sous la forme + avec a et b réels) x(x + 1) x x+1 EXERCICE 154 Dans chacun des cas suivants, déterminer les nombres réels α et β annulant le polynôme dénominateur .Déterminer des réels a, b et c tels que, pour tout x élément de l’ensemble de b c définition de f, on ait : f (x) = a + x ― α + x ― β . En déduire une primitive de la fonction étudiée. x2 ― 5x + 6 1 1°) f (x) = x2 ― x 2°) f (x) = 1

(x) pour 0 x a1 et a, b > 1, alors lim f (x) = f (0). x→0+ I.1.6. Calculer (a) (b) I.1.7. Calculer positifs. 2 lim x→0 lim x→0+ x2 1 + 2 + 3 + . . . + x lim [P (x)] , x→+∞ P ([x]) 1 |x| 2 k 1 + + ... + x x x , , k ∈ N∗ . où P est un polynôme à coefficients strictement Énoncés I.1.8. Montrer sur un exemple que la condition lim (f (x) + f (2x)) = 0 (∗) x→0 n’implique pas que f admet une limite en 0. Prouver que s’il existe une fonction ϕ telle que, dans un voisinage épointé de 0, l’inégalité