Asymptote

orthogonal d’unités graphique 5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée. 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique s’il y a lieu. lim f (x) = −∞ x→0 Donc la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe C f . lim f (x) = +∞ x → +∞ 2. On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f . g (x) Montrer que, pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′ (x) = x 2 . f ′ (x) = 3. 1 x × x − ln(x) × 1 x2 +2 = 1 − ln(x)

peut-on d´ duire pour lim f (x) et lim+ f (x) ? e x−→−∞ x−→1 B. CAILHOL, Lyc´ e Calmette, Nice e 6/8 4.3 Asymptotes a une courbe ` 4.3.1 D´ finitions e Soit f une fonction, D son ensemble de d´ finition, C sa courbe repr´ sentative, ℓ ∈ R et a e e x−→+∞ Exercice 3. Tracer les courbes repr´ sentatives des fonctions suivantes, conjecturer la pr´ sence d’une e e asymptote (horizontale, verticale ou oblique) et le d´ montrer. e D. (1) f (x) = x2 1+x (2) f (x) = x − 3x + 1 1−x (3) f (x) =

������ et on note ������������ la courbe représentative de la fonction ������ dans ce ⃗, ⃗) Définition : "Asymptotes verticales ou parallèles à l’axe (������, ������ ⃗)" verticale (ou parallèle à l’axe (������, ������ à ������������ . ⃗)) ������→−∞ ������→������ Résumé : Etude de fonctions Niveau : Bac Sciences Expérimentales Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber Définition : "Asymptotes horizontales ou parallèles à l’axe (������, ������ ⃗): parallèle à l’axe (������, ������ à ������������ au

addition on obtient donc : ⎟ ⎟ ⎠ x→0 + Lim f ( x) = +∞ Limite de f quand x tend vers + ∞ x→+∞ Lim ( x − 8) = +∞ et ⎛ 64 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 par addition nous obtenons : lim ⎜ ⎟ ⎜ x ⎠= x →+∞ ⎝ x→+∞ Lim f ( x ) = +∞ 82061CTPA01 3/5 2. Asymptote oblique en + ∞ Calculons la limite de la différence : [ f ( x) − ( x − 8)] lorsque x tend vers + ∞ : Lim [ f ( x )−( x−8)]= Lim x→+∞ 64 =0 x→+∞ x Cette limite vaut 0 ; ceci prouve bien que la droite d’équation y = x − 8 est l’asymptote

résultat. 2   lim 2x + 1 = 0  1 x→− 2 donc par composition de limites lim ln (2x + 1) = −∞ de plus lim e4x = e−2  lim ln X = −∞ x→− 1 x→− 1  2 2 X →0 donc par somme lim f (x) = +∞ x→− 1 2 La droite d’équation x = − 1 est asymptote verticale à C f . 2 2. Calculer la limite de f en +∞ (on pourra utiliser l’égalité suivante : pour tout réel x strictement positif, ln (2x + 1) 2x + 1 4x × × 4x ). 4x e  2x + 1  lim 2x + 1 = +∞  ln (2x + 1) x→+∞ donc par composition

remarque suivante : lim f ( x ) = lim f ( - x ) x → –∞ x → +∞ Tout devient si simple quand f est paire ou impaire … lim x ² = + ∞ Ex : x → –∞ lim x = - ∞ x → –∞ lim x 3 = - ∞ x → –∞ B ) LIMITE FINIE en + ∞ et en – ∞ ET ASYMPTOTE HORIZONTALE Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel et L un réel donné . Intuitivement, dire que f a pour limite L en + ∞ , signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers +

de la fonction numérique obtenue dans la partie I et définie sur IR par et le tracer de sa courbe représentative (C) dans le plan (P). 1.a) Déterminer la limite de en . b) Déterminer la limite de en . En déduire que la courbe (C) admet une asymptote que l’on précisera. Calculer les coordonnées du point d’intersection B de la courbe (C) et la droite . 2. Soit la fonction dérivée de sur IR. Établir que : et déterminer son signe. Dresser le tableau de variation de . 3.a) Calculer les coordonnées

n x 2° Limite en 0 lim x = 0 , n x →0 x →0 + lim x =0, lim 1 = + ∞ , x →0 + x x →0 + lim 1 =+∞ n x Pour la limite en 0 de 1n , le signe + ou – devant le symbole ∞ dépend du signe de x et de la parité de n. x V. ASYMPTOTES A UNE COURBE ⎛ O, →, →⎞ Soit ⎜ i j ⎟ un repère du plan. ⎝ ⎠ 1° Limite lorsque x tend vers plus ou moins l'infini Dans ce cas, on s’intéresse à la limite de f(x) quand x → - ∞ ou quand x → + ∞ de la représentation graphique. Par exemple, la

tangente est -périodique. c. Expliquer pourquoi on peut se contenter d’étudier la fonction tangente sur l’intervalle I =  0, 2  . 3. Étudier les limites de la fonction tangente en 0+ et en  2 − . En déduire que la courbe C admet une asymptote D dont on précisera la nature et l’équation. 4. Compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes : x 0  6 4 3 tan x 5. Montrer que, pour tout x 2 I : tan0(x) = 1 cos2 x = 1 + tan2 x En déduire le tableau de variations de la fonction

sin x = 0 car lim + sin x = 0 et lim + cos x = 1 cos x x® 0 x® 0 sin x lim - ¦(x) = lim = +¥ car p p cos x x® x® 2 2 lim - sin x = 1 et x® p 2 lim - cos x = 0 avec cos x > 0. x® La fonction tangente admet donc une asymptote verticale d'équation x = p 2 p . 2 u u¢v - uv¢ , sa dérivée ¦' sera donc égale à , ce qui donne : v v2 cos x cos x - sin x ( - sin x ) 1 ¦'(x) = = = 1 + tan2 x 2 2 cos x cos x Dérivée : la fonction ¦ est de la forme