Asymptote

fonction, on utilise un tableau de valeurs : x f(x) On remplit ce tableau en choisissant des valeurs particulières de x et en calculant leurs images f  x  . On place les points correspondants, puis on trace les tangentes particulières, les asymptotes, et enfin on utilise tous ces renseignements pour tracer la courbe de la fonction f . Variations Définition : Une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsque : pour tous a et b de I tels que a b , on a f  a   f b  Une fonction f

(E) : (e − 1) y + e y =1 a) R´soudre (E) sur chaque intervalle ]-∞, 0[ et ]0,+∞[. e b) R´soudre (E) sur R. e . ´ 3) a) Etudier la limite de f (x) + x quand x tend vers -∞. ´ b) Etudier , pour tout x < 0, la signe de f (x) + x. c) Faire l’´tude des asymptotes pour f . e . 4) On pose g(x) = f (x) − 1 + x , ∀x ∈ R 2 a) Montrer que , ∀x = 0 , f (x) = x 2 1 th( x ) 2 −1 b) En d´duire , pour tout r´el x , une expression simple de g(x) ` l’aide de la e e a fonction t d´finie sur R par : e 1 1 t(x)

x → c c ax + b cx + d avec ad − bc = 0 c=0 y Ces homographies (avec c = 0 et ad − bc = 0) ont plusieurs propriétés graphiques. • Il y a une asymptote horizontale y = a . c • Il y a une asymptote verticale x = − d . c • Il y a deux axes de symétries diagonaux comme indiqués sur le dessin ci-dessus (ils partent à 45◦ de l’intersection des deux asymptotes). Ces axes de symétries sont très utiles pour tracer rapidement le graphe de la fonction. En effet, dès que l’on trouve un point du graphe, les

courbe représentative dans un repère orthonormal O ; ı,  d’unité 1 cm. 1. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞. En déduire que C a deux asymptotes dont on donnera les équations. 2. Déterminer f ′ (x) et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de f . 3. Justifier que la courbe C passe par l’origine du repère. Tracer la courbe C ainsi que ses asymptotes. 4. Donner le coefficient directeur de la tangente à C en O. Tracer cette tangente dans le repère précédent. Exercice 6.10. On considère

repère orthonormé (O, ~ı, ~|). On considère la fonction rationnelle f définie par f (x) Æ x Å1Å 1 x et (Cf ) sa courbe représentative dans le plan. 1. (a) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. [3pts] (b) Préciser les asymptotes à la courbe (Cf ) de f . [0,5pt] (c) Démontrer que le point I (0;1) est le centre de symétrie de la courbe (Cf ). [1pt] 2. Construire la courbe (Cf ). [1,5pt] 3. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie par g (x) Æ f (jxj)

puis ´tudier son signe. e e (b) Calculer la limite de f en +∞. Exercice 3 (EML 1997) 1. On consid`re la fonction g d´finie sur R par g : x → e e 1+x −x. 1 + ex h(x) . (1 + ex )2 (b) Aprs avoir crit g(x) sous la forme d’un quotient, dterminer les asymptotes en −∞ et +∞ de la courbe reprsentative de g. (a) Justifier que g est drivable sur R et expliciter sa drive sous la forme g ′ (x) = 2. Montrer que l’quation cette solution. 1+x = x admet une solution et une seule sur R+ .On note x0 1 + ex 3. Justifier

en d´cibels (unit´ not´e dB dans la suite) associ´ ` e e e ea H(ω) o` |H(ω)|) correspond au module de H(ω), log au logarithme d´cimal. On supposera que u e 20. log(2) ≈ 6. 4.1 4.2 4.3 4.4 Calculez l’expression de G(ω). D´terminez l’expression des asymptotes quand ω → 0 et ω → +∞. e D´terminez la valeur ω0 de ω telle que G(ω0 ) ≈ −3 dB. e A partir des r´sultats pr´c´dents tracez l’allure de G(ω). e e e 4.5 On consid`re H2 (s) = A0 .H(s) avec A0 ∈ 0, 1 ∪ 1, +∞ . Tracez l’allure du gain en e d´cibels

repère orthogonal ; les unités graphiques sont 2 cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée. . a) Étudier les variations de la fonction f sur b) Étudier la limite de la fonction f en + ∞ . En déduire l’existence d’une asymptote à la courbe en + ∞ . c) Construire et sur l’intervalle [ 0 ; 7 ] . m 3. a) Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l’objet est 50 °C. On laissera apparents les traits de construction

f(x>=(x + a T / 2 x = , ( ~ + ~ > 2 Etude de f : f est définie sur W*. C'est une fonction impaire. On va l'étudier sur W*, x aL Par ailleurs, f(x) - - = 2 2x donc lirn x++- [f(x) - x/2 ] = 0 Ainsi la droite d'équation y = x/2 est asymptote à la courbe de f au voisinage de l'infini. 42 - Chapitre II Etude de la suite {un) Cette suite est définie par : un + 1 = f(un) . Puisque f est continue, les limites possibles sont solutions de l'équation f(L) = C. on obtient L = a.

des abscisses pour asymptote en − ∞ et la droite d’équation y = − 2 pour asymptote en + ∞. 3 a) lim f ( x ) = 0 et lim f ( x ) = 0 . x→− ∞ x→+ ∞ x→− ∞ x→+ ∞ courbe représentative de la fonction f admet la droite d’équation y = − 4 pour asymptote en − ∞ et l’axe des abscisses pour asymptote en + ∞. b) 2 x →+∞ lim f (x) = 0 . La b) La courbe représentative de la fonction g admet l’axe des abscisses pour asymptote en + ∞ et la droite d’équation y = 4 pour asymptote en − ∞. 5 a) lim