Asymptote

variations de f. Probatoire C-E 2009 http://maths.educamer.org 0,25 pt 1 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,75 pt 0,5 pt 0,5 pt Page 2/3 Powered by www.educamer.org Prépas Probatoire d. Déterminer en justifiant votre réponse les équations des asymptotes à la courbe de f. e. Tracer soigneusement la courbe de f. 2 0,5 pt 1 pt y 1 x 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 Probatoire C-E 2009 http://maths.educamer.org Page 3/3 

ˆetre ´etendue en une fonction de R∗ → R∗ (c’est une fraction rationnelle). 11 fonctions puissances x α α (α > 1) x domaine (cas g´en´eral) 1 x = β (β > 0) x R∗+ α (0 < α < 1) R+ branches branche parabolique branche parabolique deux asymptotes : infinies verticale en +∞ horizontale en +∞ - horizontale (y = 0) en +∞ - verticale (x = 0) en 0+ concavit´e convexe concave convexe β − β+1 x 1 α−1 d´eriv´ee αx x variations α x 0 1 [4] 0 1 xβ 1 x 1 xβ +∞ +∞ [4] 0 +∞ [3]

EXERCICE 1 (4 points ) Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; +∞[ par f (x) = 1 − x2 e1−x . Son tableau de variations est le suivant : x f (x) 0 Sa courbe représentative C et son asymptote ∆, d’équation y = 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie. A - Lecture graphique 1) k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0; +∞[ de l’équation f (x) = k

(x+1) On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, l’unité graphique étant 5 cm . On désigne par f ’ et f ’’ les dérivées première et seconde de f . 1) Démontrer que la droite (D) d’équation y = x – e + 1 est asymptote à la courbe (C) . Préciser la position relative de (D) et (C) . 2)a) Pour x [pic] ] –1 ; +[pic][ , calculer f ’(x) et f ’’(x) . Vérifier que f ’’(x) = [pic][pic] En déduire le sens de variation de f ’ . c) Dresser le tableau

sur IR telles que pour tout réel x , g(x) ≤f(x) ≤ h(x). Si lim g ( x)  2 et lim h( x)  4 alors f admet une limite en +∞ x   x   4) Si f est une fonction définit sur IR et dont la courbe représentative admet dans un repère du plan pour asymptote au voisinage de +∞ la droite d’équation y = 3x + 5 alors lim f ( x)   x   5) Soit (un) une suite réelle Si (un2) est convergente alors (un) est convergente. Devoir de contrôle N°1 4 M3 (22 /10/2010) Exercice N°3 : (4 points) x

limitée par les droites parallèles D et D′ . • Limite en +∞ : 2 lim = 0 entraîne que lim f k (x) − (x − 1) = 0, ce qui signifie que la x→+∞ 1 + ke x x→+∞ droite D est asymptote à C k au voisinage de plus l’infini. • Limite en −∞ : 2kex = 0 entraîne que lim f k (x) − (x + 1) = 0, ce qui signifie que la lim x→−∞ 1 + ke x x→−∞ ′ droite D est asymptote à C k au voisinage de moins l’infini. 4. k = 1 1 − e−x ex − 1 1 − ex 1 − ex , donc f 1 (−x) = −x+ = −x+ x =− x+ x −x 1+e 1+e e +1 1 + ex = − f 1 (x), quel que soit

par les droites parallèles D et D′ . • Limite en +∞ : 2 = 0 entraîne que lim f k (x) − (x − 1) = 0, ce qui signifie que lim x→+∞ x→+∞ 1 + ke x la droite D est asymptote à C k au voisinage de plus l’infini. • Limite en −∞ : 2kex lim = 0 entraîne que lim f k (x) − (x + 1) = 0, ce qui signifie que x→−∞ 1 + ke x x→−∞ ′ la droite D est asymptote à C k au voisinage de moins l’infini. 4. k = 1 1 − e−x ex − 1 1 − ex 1 − ex , donc f 1 (−x) = −x+ = −x+ x =− x+ x −x 1+e 1+e e +1 1 + ex = − f 1 (x), quel que

l’expression conjuguée pour lever la forme indéterminée. 3-4 Asymptotes x→a • Si lim f (x) = ±∞ alors la droite verticale d’équation x = a est asymptote à C f . • Si lim f (x) = b alors la droite horizontale d’équation y = b est asymptote à C f . x→±∞ x→±∞ • Si lim f (x) − (ax + b) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C f . • De façon générale, si lim f (x) − g(x) = 0 alors les courbes C f et Cg sont asymptotes. x→±∞ • Pour déterminer la position relative entre

Repr´sentation dans le plan de BODE e D´finition e Cette repr´sentation s’appelle ´galement Lieu de Bode. Le gain est ree e pr´sent´ en d´cibels (dB) : e e e |T (jω)|dB = 20 log (|T (jω)|) La construction pratique consiste en la recherche des asymptotes, leur point de concours et le calcul de quelques points particuliers. Le d´phasage e est souvent repr´sent´ en degr´s. A part quelques rares exceptions, ce d´e e e e phasage est n´gatif (la sortie est en retard par rapport ` l’entr´e). e a e

Partie B : étude de la fonction f fen + "r. 1") a) Déteminer la limite de Ia fonction f en 0. Inierpréter graphiquement cette limite. b) Déterminer la limite de la fonction c) Justifier que la d roiie I d'équation y = x+2 est asymptote à la courbe g. 9. d) Etudief la posit;on de la courbe € par rapport à la drcite 2")a) lvlontfer que pour tout x appailenant à linte.valle l0t -1,t111=4!. x' ]o;+-[. b) Etablir le tableau de variation complet de la fonction fsur