Asymptote

sortent de leur simple rôle pour endosser le rôle d'un porte-parole engagé. Mais est-ce le seul moyen que Beaumarchais a trouvé pour nous faire réfléchir dans une comédie? Le vagabond de l'Homme qui rit affirme que le rire et la réflexion sont deux asymptotes qui ne peuvent se rejoindre: «J'ai un camarade qui fait rire, moi je fais penser.». On en vient à se demander si dans le Mariage, faire rire ne sert qu'au ressort dramatique ou si elle est un masque d'une pensée. Il est vrai qu'habituellement

(ni compacte). On voit egalement que ses aymptotes sont les droites d'equation $y=(b/a) x$ et $y=-(b/a)x$. Notons que les axes sont les bissectrices des asymptotes. Notons egalement que l'hyperbole est equilatere ssi ses asymptotes sont orthogonales l'une sur l'autre. Lemme: Pour une hyperbole de centre $O$, la reunion des asymptotes est l'ensemble des points $M$ tels que $q(\vec{OM}) =0$. Exemple : La conique d'equation x^2 - 3xy + 2 y^2 =5 dans R^2. Parametrage d'un cercle et d'une

fera un tableau de variations et on pr´ cisera les signes de e F (a) et F (b). (b) Dessiner l’allure de la courbe repr´ sentative de F (unit´ 2 cm) ; on pr´ cisera les pentes e e e ` des tangentes aux points d’abscisses 0, 1, a et b ainsi que les asymptotes a la courbe. On prendra a 0.43, b 1.26, F (a) −0.25, F (b) 0.05. ` 2eme Partie : Un r´ sultat d’approximation e A. Quelques r´ sultats pr´ liminaires e e 1. (a) Justifier que pour tout r´ el x > 0, ln x e (b) En d´ duire que pour tout entier

Branches infinies Fonction ln Limite calculée lim ln x = 0 x exp √ x → x − ln x −x x → x + 1 + 2e x→∞ ex = +∞ x→∞ √x lim x−ln x = 0 x x→∞ x+1+2 e−x lim = x x→−∞ Branche parabolique de direction (Ox) en +∞ lim Asymptote − (Oy) en +∞ − (Ox) en +∞ − (Ox) en −∞ 0 y = x + 1 en +∞ 72.3.2 Calcul de limites xln x . (ln x)x Exercice 1 : Étudier la limite en +∞ de la fonction x −→ Solution : On a ln x xln x = (ln x)x x x x ln

s’annulant pas sur [0 ;+ »[ car K > 0. aK Donc, pour tout réel x ജ 0, f ¢( x ) = . Comme aK > 0, f ¢( x ) > 0 sur [0;+ »[, f est donc strictement croissante sur (K + x)2 [0 ;+ »[ . ax b. lim f (x) = = a. x Æ+» x La droite d’équation y = a est asymptote à la courbe représentative de f en + ». On peut contrôler ce résultat sur le logiciel en traçant la droite d’équation y = a et en augmentant xmax ou en observant qu’on peut rendre a - f ( x ) < 0,1, a - f ( x ) < 0, 01, a - f ( x ) < 0, 001 pourvu

définies sur tout l’intervalle I. Le fait qu’une solution maximale ne puisse pas être prolongée (en tant que solution) au-delà d’une borne ↵ de l’intervalle J tient à ce que son graphe : - soit présente une branche infinie, avec l’hyperplan {↵} ⇥ Rn asymptote au graphe - soit vient “buter” sur la frontière de l’ouvert de définition de f (cf. proposition 3.3.2). Lorsque l’hypothèse du théorème de Cauchy – Lipschitz portant sur la différentielle partielle de f n’est pas satisfaite, le résultat d’unicité

Interpréter graphiquement ces deux résultats. 3) a) Calculer f’(x) dans les intervalles où f est dérivable. b) Etudier les variations de f 4) a) Calculer lim f(x) – ( 2x – 1 ). Que peut-on en déduire ? b) Donner l’autre asymptote c) Etudier la position de la courbe de f par rapport à ses asymptotes. 5) Tracer la courbe de f ainsi que ses demi tangentes en x = 0 et x = 1 dans le repère (o,i,j) 6) Soit g la restriction de f sur [ 1 + [ a) Montrer que G est bijective de [ 1 + [ vers J à préciser. b) g est –elle

équations de droites – systèmes d’équation à deux inconnues FONCTIONS NUMERIQUES A . Généralités – parité – centre de symétrie, axe de symétrie . Lecture graphique des propriétés d’une fonction . Limites – énoncés usuels – droites asymptotes . Dérivation en un point – tangente . Fonction dérivée sur un intervalle I – calcul de fonctions dérivées d’une fonction composée B . Fonctions polynômes, rationnelles . Fonction logarithme népérien . Fonction exponentielle C

Fiche Cours Nº : 22001 MATHEMATIQUES Série ES LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Thème : Limites, asymptotes, nombre dérivé, fonction dérivée Fiche 1 : Limites d’une fonction Plan de la fiche I - Notations et formes indéterminées (FI) II - Limites de référence III - Tableau récapitulatif des résultats généraux en fonction de l’expression de f (x) IV - Fonctions classiques donnant lieu aux quatre FI V - Limites d’une fonction composée VI - Limites et ordre Ce premier chapitre

EOQ • Quantité économique de commande 2KD Q∗ = h . • Période optimale de commande ∗ T = Q∗ D = 2K hD . • Equilibrage des coûts KD Q∗ = 1 2 hQ∗ • Interprétation graphique : – Q → +∞, C(Q) ≈ h/2Q asymptote droite – Q → 0, C(Q) ≈ KD/Q tend vers une hyperbole – Q∗ intersection des deux. DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- 17 Stabilité de l’optimum • On néglige le terme constant cD. • On calcule C(Q)/C(Q∗) en fonction de Q/Q∗