AY

l’Université du Havre Gisella Croce 2 Table des matières 1 Systèmes différentiels linéaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrice fondamentale de solutions . . . . . . . . . . . . . 1.4 Etude de Y ′ (t) = AY (t) + B(t) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Équations différentielles d’ordre p à coefficients constants 1.6 Etude des systèmes linéaires à coefficients variables . . . . 1.7 Exercices .

e5 e2 - 3 x < 1 + ex - 3 = 0 III ] D'autres équations différentielles y ' = ay 1. Equation différentielle Théorème 4 : Soit a un réel donné non nul . L'ensemble des solutions , dans ¡ , de l'équation différentielle y ' = ay est l'ensemble des fonctions f telles que f(x) = C eax où C est une constante réelle quelconque. Quels que soient les réels x0 et y0 , l'équation différentielle y ' = ay admet une unique solution telle que f(x0) = y0 . Exemple ; Résoudre dans ¡ : y ' - 5y = 0

du premier ordre sont particulièrement utilisées en économie. type 1 : y˙ = ay où a est une constante. La solution générale de cette équation est : y(t) = keat La démonstration consiste simplement à différencier keat et à regarder si l’équation différentielle est satisfaite ; sa dérivée est en effet k fois elle-même. La constante k est déterminée par la valeur initiale y(0) de y(t), d’où : y(t) = y(0)eat type 2 : y˙ = ay + b où a et b sont des constantes non nulles. La solution générale de cette

du premier ordre sont particulièrement utilisées en économie. type 1 : y˙ = ay où a est une constante. La solution générale de cette équation est : y(t) = keat La démonstration consiste simplement à différencier keat et à regarder si l’équation différentielle est satisfaite ; sa dérivée est en effet k fois elle-même. La constante k est déterminée par la valeur initiale y(0) de y(t), d’où : y(t) = y(0)eat type 2 : y˙ = ay + b où a et b sont des constantes non nulles. La solution générale de cette

d’euros en décembre 2007 à comparer avec la plus grand place boursière du monde à savoir la bourse de New York, ou NYSE (New York Stock Exchange), appelée communément « Wall Street » qui présente une capitalisation de 25.000 milliards de dollars. AU R AY Lu d ov i c 3|Page PPH : In v e st ir en b ou r s e p ou r u n p ar ti cu l i er Afin de mesurer la performance d’une bourse, on utilise des indices boursiers. Un indice boursier est une mesure statistique calculée par le regroupement des

palato, Huc conviva veni : tibi hæc parata est C�na. sin minus, hinc facesse, quæso : Ad hanc te volui haud vocare c�nam. A Monsieur D’Avanson Conseiller du Roy en son privé conseil Si je n�ay plus la faveur de la Muse, Et si mes vers se trouvent imparfaits, Le lieu, le temps, l�aage où je les ay faits, Et mes ennuis leur serviront d�excuse. J�estois à Rome au milieu de la guerre, Sortant desja de l�aage plus dispos, A mes travaulx cherchant quelque repos, Non pour louange ou pour faveur

D idurar ay d lâamriw   Les montagnes sont ma vie Xellsegh adrar s yidammen-iw  : a d-yeqqim later-iw Xas gullen ard a t-sefden Wid yetganin di lmut-iw, yessamsen isem-iw Kul tizi a yi-d-mlilen   Du tribut de mon sang j’ai irrigué les monts mon empreinte s’imprime à jamais, quand ils ont en juré l’anéantissement ; Qui s’impatiente de me voir mort, et qui calomnie mon nom, A chaque col devra m’affrontent,   Atas i ggigh si lheqq-iw armi i qqwlegh seg yilexxaxen Wwtegh, dligh ghef nnif-iw

Montagne de Reims ▪ Premier cru : Most around Montagne de Reims. 3 towns where Champagne houses are based. ▪ Reims : Heidseick, Veuve clicquot, Ruinart, Roederer, Krug… ▪ Epernay : Moet (Dom Perignon), Perrier-jouet, Pol Roger,… ▪ Ay: Bollinger (Ayala) Krug : Reims.Small but important Champagne house. Does not make ordinary NV but Prestige cuvees (Grande cuvee, only from exceptional vintages). Constistently producing admired Champagne. One of the few still making small barrel

Etude statique: ∑Fext/x=Ax=0 ∑Fext/y=Ay-500=0 =&gt; Ay=500 N ∑MFext/A=MA-500x0.515=0 =&gt; MA=257.5 N.m Zone AB: 0&lt;X&lt;1.030m T(X)=485.5X -500 M(X) =-242.75X2+500X-275.5 TB-=0 (N) M B-=0 N.m Diagramme de T(X) et M(X) Mfmax=257.5N.m σmax=mfmaxWx≤σadm=σeFs

donc O = [x2O Jx . Montrons que les Jx sont deux à deux disjoints ou égaux. Supposons qu’ existe x; y 2 O tels que Jx \ Jy 6= ;. il Soit c 2 Jx \ Jy . On a ax < c < by et ay < c < bx . Donc ax < c < by et ay < c < bx . ay 2 O ) ay 2]ax ; bx [) ay = = ax 2 O ) ax 2]ay ; by [) ax = = 1 ax , car ay < bx . ay , car by > ax . Donc ax = ay . Un raisonnement analogue montre que bx = by . Donc Jx = Jy . Par conséquent, il existe un sous - ensemble E de O tel que O = [x2E Jx , et 8x; y 2 E tels que x 6=