Base canonique

(e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et on considère les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 0, −3), v3 = (0, 2, 5). 1. Montrer qu'il n'existe pas d'application linéaire f , de R3 dans R3 , telle que f (vj ) = ej (j = 1, 2, 3). 2. Montrer qu'il existe une innité d'applications linéaires f , de R3 dans R3 , telles que f (v1 ) = e1 , f (v2 ) = e2 , f (v3 ) = 2e1 − e2 . (Suggestion : on observera qu'il y a une innité de manière de compléter (v1 , v2 ) de façon à obtenir une base de R3 ). Exercice

x3 + x4 , x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ) . Quelle est la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et R4 ? D´terminer le noyau de f . L’application lin´aire f est-elle injective ? e e Quelle est l’image de f ? L’application f est-elle surjective ? Soit y1 , y2 deux r´els, pr´ciser un vecteur u de R4 tel que f (u) = (y1 , y2 ). e e Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de E. On consid`re f l’application lin´aire de E vers E telle que : e e f (e1 )

le noyau de f  (ker f). Donner une base de Ker f et sa dimension. 2) En déduire Imf. f est-elle surjective ? est-elle injective ? Exercice 2   On considère l’application de R3 dans R4 définie par : f(x, y, z) = (x + 2y, -x – 3y + z, 2x + 4y, 3x + 3y + 3z) 1) Montrer que f est une application linéaire. 2) f est-elle surjective ? Justifier. 3) Déterminer le noyau de f. 4) Quel est le rang de f ? 5) Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques de R3 et R4 Exercice 3  

bases canoniques. Puis montrer que B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)) est une base. Donner la matrice de f dans B. Exercice 23.2 Soit f l’endomorphisme de R2 défini par f 1 −1 ,B= x y = x − 3y 2x + 4y Justifier que B = Soit A = 1 −3 2 4 , 2 est une base de R2 . 1 4 −1 que représentent A et B vis à vis de f ? −2 8 1 X−1 Exercice 23.3 Donner la matrice de l’application linéaire f : R2 [X] → R2 [X] , f (P ) = (X − 1)2 P (X − 1) P (X) dans la base canonique, puis dans la base de Taylor

(pour la scolastique = règles et institutions que le juriste constate comme présentes chez presque tout les peuples => donc universalité constatée donc expression du Droit Véritable, ◦ Les droits savants ensignés dans les universités : ▪ Le droit canonique (droit universel car commun à tout la chrétienne) ▪ le droit romain (sert de droit commun). LES ROYAUMES BARBARES. Contexte politique: le monde des puissances. L’hydre médiévale. 11éme S, avec les seigneuries, se produit une fragmentation quasi

d´duire la nature de f . e (c) D´terminer les ´l´ments caract´ristiques de f en donnant pour chacun d’eux une base. e ee e Exercice 2     x x      3 qui ` tout ´l´ment X =  y  de R3 associe X =  y  d´fini par     e Soit f l’endomorphisme de R a ee             z z  5x + 3y − 3z  x = y = − x − y + z  z = 5x + 3y − 3z On note C = (e1 ,e2 ,e3 ) la base canonique de R3 . 1. (a) Montrer que Ker(f ) est une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant

loi ne sont pas sanctionner par l’Etat. B)Le droit et la religion De la même manière que la morale, la religion joue un rôle dans la construction des règles juridiques. Elle peut plus ou moins inspirer une règle de droit. En France, le droit canonique (= le droit de l’église) a pendant longtemps exercé une influence sur le droit de la famille, du mariage… Aujourd'hui un peu moins mais notre droit actuel résulte tout de même d’un héritage culturel. Dans certain Etat musulman certaines règles

communion fraternelle, est elle-même à l'origine et au terme de l'apostolat.Le Magistère, à partir du Concile, a approfondi et enrichi de nouveaux apports la vision renouvelée de la communauté religieuse(8).ÉVOLUTION CANONIQUE3. Le Code de Droit Canonique (1983) recueille et précise les dispositions conciliaires relatives à la vie communautaire.Quand on parle de "vie commune", il faut distinguer clairement deux aspects. Alors que le code de 1917(9) donnait l'impression de s'être limité à des éléments

(d’après Centrale 2001 PC 2) Partie I I.A.1) On complète x en une base B1 = (x, e2 , ..., en ) de V et de même avec y : B2 = (y, e2 , ..., en ). Soit f l’application linéaire de V dans V telle que f (x) = y, f (e2 ) = e2 , . . . , f (en ) = en (f est définie par la donnée de l’image de la base B1 ). Alors f ∈ GL(V ) car f transforme la base B1 en la base B2 , et f (x) = y. Soit A la matrice de f dans la base canonique de V , alors on a Ax = y et A ∈ GLn (R). I.A.2) Montrons que GLn (C)

5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π   Exercice 3 - Avec un param`tre - L2/Math Sp´ e e Soit m un nombre r´el et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique e est 1 0 1   −1 2 1 . A= 2−m m−2 m 1. Quelles sont les valeurs