Base orthonormale

la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une base orthonormée de E. Que peut-on dire du degré du polynôme X n + (−1)n+1 n!L0 ? 3. Déterminer les coordonnées dans la base B d’un vecteur N de E orthogonal à l’hyperplan H de E formé des polynômes de degré ≤ n − 1. Si P ∈ E, on note d(P, H) = inf Q∈H P − Q 2 la distance de P à l’hyperplan H. Montrer que d(X n

" ! (i , j , k) est une base des vecteurs de l’espace ! ! " ! (O , i , j , k) est un repère de l’espace ! ! " ! ! ! " ! ! ! " ! On dit que le repère (O , i , j , k) ( la base (i , j , k) ) est orthogonal , lorsque les vecteurs i , j et k sont orthogonaux deux à deux . ! ! " ! Si, de plus, les vecteurs i , j et k sont unitaires ( ont pour norme 1 ) alors, on dit que le repère ( la base ) est orthonormal ! ! " ! Illustration : représentation classique d’un repère orthonormal (O , i , j , k) . ⎯ → ⎯

1998 France septembre 1998 Polynésie septembre 1998 Q.C.M. × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × Barycentre Espace × × × × × × × × × Baccalauréat S 1. Asie juin 2005 → → → − − − Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  , k . On ap  x = 1 + 2t y = 2−t pelle D la droite d’équations paramétriques : et P le  z = −3 − t plan d’équation cartésienne x + 2y − 3z − 1 = 0. Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule affirmation est exacte. Le candidat

2. On donne x1 , x 2 , ..., x p p vecteurs de E. Si B = (e1 , e2 , ..., en ) est une base orthonormale de E, et si A est la matrice de M n , p ( que G ( x1 , x 2 , ..., x p ) = t A A . Quel lien existe entre le rang de la matrice G ( x1 , x 2 , ..., x p ) et le rang de la famille de vecteurs ( x1 , x 2 , ..., x p ) ? ) dont les colonnes sont les composantes des vecteurs x1 , x 2 , ..., x p dans la base B , montrer 3. Dans cette question, p = n . a. Déterminer une condition nécessaire

EF ? Justifier la réponse donnée. b) Par quel nombre doit-on multiplier l'aire du triangle ABD pour obtenir l'aire du triangle AEF ? Justifier la réponse donnée. Exercice 2 : La pyramide SABCD représentée sur la figure ci-contre : . a pour base ABCD, carré de 3 centimètres de côté; . a pour hauteur [AS] et AS = 4 cm. On admettra que : . les faces SAB et SAD sont des triangles rectangles en A; . la face SDC est un triangle rectangle en D. 1. Sans faire de calculs, tracer avec précision

l’évènement M est égale à : 1 55 − x 2 + 10x + 5 . c. Pour quelles valeurs de x l’évènement M est-il plus probable que l’évènement contraire M ? E XERCICE 2 Enseignement obligatoire 5,5 points → → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v . Pour tout point P , on convient de noter zP son affixe. 1. On considère dans l’ensemble des complexes l’équation (E) : z 3 + 8 = 0. a. Déterminer les nombres réels a, b, c tels que z 3 +8 = (z +2)(az 2 +bz +c) pour tout complexe

BAC S 2003 MATHÉMATIQUES - ÉNONCÉ Exercice 1 (4 points) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, u , v ) (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 2, b = 1 − i et c = 1 + i. → → 1. a. Placer les points A, B et C sur une figure. b. Calculer c−a . En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. b−a 2. a. On appelle r la rotation de centre A telle que r(B) = C. Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D = r(C)

MATHEMATIQUES ALGEBRE 4 COURS ET EXERCICES RESOLUS Dr Ko¢ Germain ABALO 3eme édition - Table des matières 1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Résultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Polynôme minimal d’ endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . un 1.1.3 Sous espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Etude de eA ; eu . .

l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T). 4. Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe (C ). EXERCICE 3 : Commun à tous les candidats (5 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ([pic]), on considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ’ d’affixe z’ telle que : z ’ = z2 − 4z. 1. Soient A et B les points d’affixes zA = 1 − i et zB = 3 + i. a. Calculer les affixes

f admet un minimum. B. Application à un problème d’optimisation Un fabriquant doit réaliser un réservoir en plastique sans couvercle ayant la forme d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont exprimées en mètres. La hauteur est h et la base est un carré de côté x, comme le montre la figure suivante. Onadmetque 0,5≤x≤2. 1. a) Exprimer le volume V, en m3 , du réservoir en fonction de x et h. b) On se propose de construire un réservoir dont le volume est 0,5 m3 . À l’aide du a), donner