Base orthonormale

quand x tend vers 1. 3 ) Montrer que la limite de f(x), quand x tend vers +∞ est égale à 0. 4 ) Dresser le tableau de variation de f sur ] +∞[ . En déduire le signe de f(x) pour x dans ] +∞[ . 5 ) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j) (Unité graphique : 4 cm) ≥ = II Soit (Vn) la suite définie pour par 1 ) a ) En remarquant que ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ln(3) + ........................+ ln(n), montrer que, pour tout entier ≥ , on a − − =

rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormée du plan. Soient u (x ; y) et v ( x ¢ ; y ¢ ) deux vecteurs. ® ® ® ® ® ® A 70° 3 4 B C On appelle produit scalaire (euclidien) de u et v le réel noté u . v et défini par : ® ® u . v = x x¢ + y y ¢ ® ® Exemple : Avec

de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en C généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 ® ® On se place dans une base orthonormée du plan. Soient u (x ; y) et v ( x ¢ ; y ¢ ) deux vecteurs. ® ® ® ® On appelle produit scalaire (euclidien) de u et v le réel noté u . v et défini par : ® ® u . v = x x¢ + y y ¢ ® ® ® ® Exemple : Avec u (1 ; 2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 29 30 31 32 33 33 35 38 42 47 Espace affine euclidiens 3.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Sous-espaces affines orthogonaux . . . . . . . . . . . . . 3.4 Hyperplan médiateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Perpendiculaire

sont deux nombres réels. Définition ( ) On dit que deux vecteurs non colinéaires u et v forment une base u , v du plan. Lorsque l’on décompose, de façon unique, un vecteur w sous la forme : w = xu + yv , on dit que les nombres x et y sont les coordonnées du vec- ( ) teur w dans la base u , v . Lorsque que les vecteurs u et v sont non colinéaires, orthogonaux et de norme 1, on dit que la base u , v est orthonormée. ( ) 4 © Cned - Académie en ligne Séquence 10 – MA02 3. Équations cartésiennes

entier naturel n, un ≥ 0 . 3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un+1 + un = b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un ≤ 4. Déterminer la limite de la suite (un). 2. Exercice 2 (4 points) L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) . ∫ 1 0 dx . 1 − e− n . n 1 − e− n . n On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2).  x = 1 + 2t  1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :  y =

INTERROGATION : VECTEURS Durée 1h - Il sera tenu compte de la rédaction et de la propreté Exercice 1 : (5 points) Dans la figure cicontre, représenter : le vecteur u + v à partir du point A. u A le vecteur v − u à partir du point B. le point P tel que PA = u le point Q tel que BQ = 2v v B Exercice 2 : (8 points) Soit A  1; −  , B  − ; 2  , C ( 0;3) et D  ; −  . 2   2  2 2 1a. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AC]. 1b. Les points I, B et D sont-ils alignés ? 2.

raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies EXERCICE 1 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité (Antilles-Guyanne septembre 2009) u v Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O ;  ,   d’unité graphique 1 cm. Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions. 1. Placer les points A, B et C d’affixes respectives z A=− 114 i , z B=− 3 −4 i et z C =54 i . 2. Calculer le module et un argument

d'obtenir exactement trois triangles rectangles est égale à 3 p(X = 3) = 10 3 5 2 5 = 10 9 8 3 2 33 27 5 10 = = 81 1024 95 31 1 2 5 = 94 82 95 31 1 2 4 5 0,0425. EXERCICE 2 : Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O, i , j , k ) , on considère les points : A(3 ; 1 ; −5), B(0 ; 4 ; −5), C(−1 ; 2 ; −5) et D(2 ; 3 ; 4). 1. Les points A, B et D sont alignés : FAUX car les vecteurs AB (– 3; 3; 0) et AD (– 1; 2; 9) ne sont pas colinéaires 2. La droite (AB) est

Vecteurs : calcul de coordonnées, vecteurs colinéaires 1°/ Dans un repère orthonormal, a- Placer les points A ( -1 ; -1 ), B ( 0 ; 2 )→C ( 3 ; 1 ). et → → b- Calculer les coordonnées des vecteurs AB et BC , puis déduire celles du vecteur AC . → → → c- Calculer les normes des vecteurs AB , BC et AC , puis déduire la nature du triangle ABC. 2°/ Dans un repère orthogonal, placer les points → 0 ; 1 ), B ( 1,5 ; 2 ), C ( 5,5 ; 3 ) et D ( 1 ; 0 ). A( → a- Calculer les coordonnées des vecteurs