Bijection réciproque

que la propriete est encore vraie au rang n ‰ 1 ; ™ on conclut en invoquant le principe de recurrence : la propriete est initialise et heredite donc elle est vrai pour tout n 0/Generalite: ™ La fonction log arithme neperien est la bijection reciproque de la fonction exponentielle. ™ La fonction log arithme neperien est definie sur ]0, ‰ 8[ qui a tout x positif associe un et un seul ln x dont l'exponentielle est x. 1/Proprietes: ln 1=0 ln e=1 e^ln x=x ln e^y=y ln (ab)=ln a‰ln b

que : f(x.y)= f(x) + f(y) et f(a) =1 1.4.8 Fonction exponentielle La fonction logarithme étant continue et strictement croissante de ]0, +∞[ sur IR, est une bijection de ]0, +∞[ sur IR. Elle admet donc une fonction réciproque, définie de IR sur ]0, +∞[ , elle aussi continue et strictement croissante,. Définition : La fonction réciproque de ln est appelée fonction exponentielle et notée exp Propriétés : 1. Pour tout x de IR, ln ( exp(x)) = x 2. Pour tout y > 0, exp(ln y ) = y 3. pour tous x,y de

elles n’ont pas nécessairement la même somme. Corollaire 1.2.1 On ne change pas la nature d’une série fini de termes. un si on lui rajoute ou on lui retranche un nombre Proposition 1.2.2 Soit un une série convergente alors lim un = 0. La réciproque est fausse. n→+∞ Preuve. +∞ 1) Posons ℓ = un = lim Sn = lim Sn−1 . n=0 n→+∞ n→+∞ Sn − Sn−1 = (u0 + u1 + · · · + un−1 + un ) − (u0 + u1 + · · · + un−1 ) = un et lim (Sn − Sn−1 ) = n→+∞ lim un = lim Sn − lim Sn−1 = 0. n→+∞

e Une d´finition pr´cise le sens math´matique d’un mot ; par exemple : e e e D´finition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆme priv´ d’un e e e ´lement. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. e On voit tout de suite deux difficult´s avec cet exemple : d’abord il faut avoir d´fini e e “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆtre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre e suivant) pour que la d´finition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm´diat que la d´finition e e e donn´e

restrictions, où f|A = g si f : E → F, A ⊂ E et g : A → F). – Pour parler d’application réciproque, notée f −1 , il est nécessaire de justifier au préalable la bijectivité de f . Ne pas confondre avec l’image réciproque f d’un ensemble. – Si F ⊂ E, l’injection canonique IE|F permet d’injecter F dans E. – Si f : E → F , on peut écrire f = i ◦ f ◦ s où i est l’injection canonique de im(f ) dans F , f : E/Rf → im(f ) la bijection canonique et s la surjection canonique de E sur E/Rf . – Partitionner E = i∈I ωi

f(x) − f(0) Or lim+ (−1 + ) ln x = −∞ et donc lim+ = 0. On en déduit que x→ 0 x→ 0 x x−0 f est dérivable en 0 et f ′ (0) = 0. 24. f est continue et strictement croissante sur ]0, e]. f réalise donc une bijection de ]0, e] sur ]f(0+ ), f(e)] =]0, e1/e ]. On note f−1 la réciproque de cette bijection. 25. f est continue sur ]0, e] et donc f−1 est continue sur ]0, e1/e ]. f est dérivable sur ]0, e[ et f ′ ne s’annule pas sur ]0, e[. Par suite, f−1 est dérivable sur ]0, e1/e [. Mais f ′ (e) = 0 et donc

[pic]x.lnx = ; [pic]= | d) Remarques: i) Pour tout entier naturel q non nul, la fonction définie sur [pic] par x [pic][pic] est la bijection réciproque de la fonction définie de vers par: donc [pic] = et [pic] = ii) Pour tout rationnel strictement positif r = [pic] (p ; q)

N°: Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct ([pic]. Soit a[pic] . On considère l’application de P-{O}[pic] P-{O} M (z)[pic]M ’(z’) défini par z ’.[pic]= a². 1) Montrer que f est bijective. Que peut-on dire de sa bijection réciproque ? 2) Quel est l’ensemble des points invariants par f ? 3) Démontrer que les points O, M et M’ sont alignés et que l’on a : [pic]=a². 4) Soit (d) une demi-droite d’origine O. Déterminer l’image de (d)- {O}par f. 5) Soit (C) le cercle de

représentation graphique, comparaison des fonctions qui à x associent respectivement x, x, x2. Me8 Bijection d’une partie de R vers une partie de R : - définition, exemples et contre-exemples, - application réciproque d’une bijection : définition, exemples, propriétés, - cas des fonctions strictement monotones, continues, - applications : résolution d’équations, mise en évidence de l’existence d’une application réciproque. Me9 Fonction logarithme népérien : - définition, propriétés algébriques, - étude de la

si x = 0 sinon b) g : x → x2 sin(1/x) si x = 0 . 0 sinon Qu’en déduire ? Dérivation d’application réciproque Exercice 9 [ 01367 ] [correction] Soit f : [0, π/2] → R définie par Exercice 4 [ 01359 ] [correction] Soit f : [0, 1] → R une fonction dérivable. On définit une fonction g : [0, 1] → R par : g(x) = f (2x) f (2x − 1) x 2 f (x) = √ sin x + x Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f −1 est continue et dérivable sur cet intervalle. si x ∈ [0, 1/2]