Borne supérieure et borne inférieure

Méthode employée : Question 1 : Déterminer une méthode de prélèvement aléatoire d’arbres dans la simulation et prélever un échantillon de chaque forêt. Déterminer un intervalle de confiance pour chaque échantillon et vérifier si la borne inférieure est supérieure à 50 cm. Si elle l’est, la forêt sera considérée comme exploitable. Question 2 et questions complémentaires : A partir des résultats précédents, déterminer l’ordre de priorité d’exploitation des forêts dont le diamètre moyen des

u+p  u,v  Lemme2 : Propriété de la borne inférieure ∀ v∈V d v≥δ s,v  . Cette propriété est invariante par rapport au nombre de relaxation réalisé sur les Arcs de G Si d v=δ s,v  Elle reste inchangée indépendamment du nombre de relaxations . Preuve : induction Preuve du lemme1 t Supposons ∃ plus court chemin de s à v,. P(=(s,u)+p(u,v)>=(s,v) (inégalité triangulaire) Si jamais d(v)= (s,v) elle reste inchangée (borne Inf) Corollaire S’il existe un sommet

1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u ∞ ∞ ∞ définie par : ∀P ∈ E, P ∞ = Sup P(n) (0) , n∈N . n! ∞) et = sup |un |. n∈N On considère les endomorphismes ∆ et C de ℓ (C) définis par : ∀u ∈ E, ∆(u) = v où ∀n ∈ N, vn = un+1 − un et ∀u ∈ E, C(u) = w

20. x→+∞ lim x Correction ln(x2 + 1) 1 + ex−3 [000623] Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3 Indication pour l’exercice 1 1. Raisonner par l’absurde. 2. Montrer que la limite est la borne supérieure de l’ensemble des valeurs atteintes f (R). Indication pour l’exercice 2 Utiliser l’expression conjuguée. Indication pour l’exercice 3 Réponses : 1. La limite à droite vaut +2, la limite à gauche −2 donc il n’y a pas de limite. 2. −∞ 3.

´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES OLIVIER DEBARRE ` Table des matieres 1. Le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e 2. D´montrer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e e 3. Appliquer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e ´ 4. Equations diff´rentielles autonomes e 5. Stabilit´ des solutions e R´f´rences ee 1 3 8 11 14 17 ´ ` 1. Le theoreme de Cauchy–Lipschitz Une ´quation diff´rentielle (du premier ordre) s’´crit e e e (1) o` u f : I × Ω → Rn est une fonction continue, avec Ω ouvert (non vide) de Rn et I intervalle

convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn )n soit bornée. Alors : 0 1. La série 2. La série |x0 |. an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout 0 < r < Preuve. La suite (an xn )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn | ≤ M . 0 0 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn xn x n x n 0 n x n |an x | = = |an x0 | ≤M · La série est une série

HAJJI : elhajji.said@gmail.com Laboratoire Math´ matiques, Informatique et Applications e http://www.fsr.ac.ma/mia/ Outline Contents 1 2 3 Notion de fonction et notations Propri´ t´ s de base ee Majorant, minorant d’une partie de R 3.1 Borne inf´ rieure, borne sup´ rieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1 2 4 4 1 Notion de fonction et notations Introduction D´ finition e ´e ´e Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou un sous-ensemble) de

réels est minoré ssi ∃ b tq b ≤ a ∀ a ∈ A ; b est alors un minorant de A Le plus grand minorant est l’infinimum = borne inférieur Infinimum = minimum ssi ∈ A majoré ssi ∃ b tq b ≥ a ∀ a ∈ A ; b est alors un majorant de A Le plus petit majorant est supremum = borne supérieur Supremum = maximum ssi ∈ A borné ssi il est majoré et minoré Propriété : Tout ensemble non vide borné possède 1 et 1 seul infinimum/supremum Proposition : 3.1.3 Intervalles Définition : Un intervalle I de IR est un

notations pr´c´dentes, un plus grand ´l´ment de A, s’il existe, est unique. On le note max A. e e ee D´finition. On conserve les notations pr´c´dentes. e e e Si l’ensemble des majorants de A dans E admet un plus petit ´l´ment, celui-ci s’appelle la borne sup´rieure ee e de A dans E, not´ suppAq. e Remarque. Propri´t´. Si α  max A, alors α  sup A. e e La r´ciproque est fausse. e 2010-2011 http://mpsi1.lamartin.fr 1/6 Chap 11 – Relations d’ordre, r´els e 2 2.1 2.1.1 Les nombres r´els

n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 ) soit bornée. Alors : 1. La série an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. 2. La série an xn est normalement convergente pour |x| < r, et pour tout r tel que 0 < r < |x0 |. Preuve. La suite (an xn0 ) est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M . 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn0 xn x n x n n x |an xn | = ≤ M · La série est une série géométrique