Borne supérieure et borne inférieure

MP* 2014/2015 RÉSUMÉ DU COURS ESPACES NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE I Suites réelles et complexes A Borne supérieure Définition Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle

b ∈ R et si f est définie et continue par morceaux sur [a, b], alors F est continue sur [a, b] de sorte que f admet une intégrale impropre qui coïncide avec l’intégrale de f sur [a, b]. • On définit de même la notion d’intégrale impropre sur la borne inférieure de l’intervalle. Soient a ∈ R et b ∈ R. Soit f :]a, b] → R une fonction continue par morceaux. On pose x F (x) = a f (t) dt pour tout x ∈]a, b]. On dit que f admet une intégrale impropre si b F (x) admet une limite quand x → a par

l'intervalle de confiance par 3 ? Estimation de moyennes et taille d’échantillon 7) La taille moyenne observée sur un échantillon aléatoire de 101 personnes prélevé avec remise parmi 50000 est de 1,72 m avec un écart-type s’ de 23 cm. Donnez la borne inférieure d'un intervalle de confiance à 98 % pour la taille moyenne sur l'ensemble de la population. ................... Réponse : 166,56 cm 8) Quelle taille d'échantillon doit on prélever sans remise pour connaître le salaire moyen des habitants de

majorée si il existe un nombre M tel que pour tout nombre n, (tous les termes sont plus petits que M). M s'appelle alors un majorant de la suite. De même il existe des suites minorées. Une suite bornée est une suite qui est à la fois majorée et minorée. Les deux suites de l'exemple tout en haut ne sont pas bornées. ^ Suite arithmétique Définition Si la suite avance toujours d'un même nombre (par exemple 5, 10, 15, 20... ou -2, 8, 18, 28...) on dit que c'est une suite arithmétique. Une suite

convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 )n soit bornée. Alors : 1. La série an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. 2. La série |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout 0 < r < Preuve. La suite (an xn0 )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M . 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn0 xn x n x n n x n |an x | = = |a x | ≤ M · La série est une série géométrique

Sauriez-vous en construire une infinité ? Et entre π et π + 0, 001 ? 4. Montrer que si z = e iα et z = e iβ sont deux nombres complexes de module 1, avec α < β, il existe un entier n ∈ N∗ et une racine n-ième de l’unité z = e iγ avec α < γ < β. 4. Borne supérieure 4.1. Maximum, minimum Définition 7 Soit A une partie non vide de R. Un réel α est un plus grand élément de A si : α ∈ A et ∀ x ∈ A x α. S’il existe, le plus grand élément est unique, on le note alors max A. Le plus petit élément de A, noté min

et la grandeur du pas. Cet éventail de possibilités peut être discret (choix parmi un nombre fini de valeurs), ou continu. Dans cette étude, nous allons nous intéresser à ce modèle, et plus particulièrement celui de la marche aléatoire de Bernoulli bornée afin d’étudier le comportement de la trajectoire d’une particule au sein d’un fluide. Cette particule sera contenue dans un tube de diamètre �� fixe et de longueur ��. Elle démarrera d’une position initiale ��0 à ��0 et avancera en faisant des sauts

suffisamment complets pour supporter tous les échanges nécessaires entre le programme et la routine. Ce qui donne: C Integration par la methode des rectangles (point milieu) C Dominique Lefebvre janvier 2007 C C a = borne inferieure d'integration C b = borne superieure d'integration C n = nombre de pas (rectangles) C aire = surface retournee SUBROUTINE IntRectangles (fn,a,b,n,aire) REAL a,b,fn,aire INTEGER n EXTERNAL fn REAL x,h C Initialisation des variables aire = 0

puis renseigner : (valeur inférieure, valeur supérieure, moyenne, écart type) Séquence : 3 , 4 , 3.35 , 0,1089 ) ) puis entrer Syntaxe de l'instruction : normalFrep(Valeur inf, Valeur sup, moyenne, écart type) Attention, le paramètre utilisé en terminale est la variance et non pas l'écart type. La probabilité qu'un bébé pèse à la naissance entre 3 kg et 4 kg est de 0,831. 2°) Probabilité des événements " <3" et " >4" Pour calculer P( <3) on peut saisir comme borne inférieure une valeur très petite

Sig. (bilatérale) | Différence moyenne | Intervalle de confiance 95% de la différence | | | | | | Inférieure | Supérieure | temps en min | 1,651 | 20 | ,114 | ,3967 | -,105 | ,898 | Descriptives | | Statistique | Erreur standard | temps en min | Moyenne | 8,397 | ,2403 | | Intervalle de confiance à 95% pour la moyenne | Borne inférieure | 7,895 | | | | Borne supérieure | 8,898 | | | Moyenne tronquée à 5% | 8,422 | | | Médiane | 8,500 | | | Variance | 1,212 |