Champ scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 31 34 39 41 5 Boˆ ` outils de g´om´trie diff´rentielle ıte a e e e 5.1 Espace tangent a une vari´t´ . . . . . . . ` ee 5.2 Champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . 5.3 Connexions . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 M´trique et courbure . . . . . . . . . . . . e 5.5 Adaptation a la relativit´ g´n´rale . . . . ` e e e . . . . . . . . . . . . . .

vectorielle suivante :       2- Le champ électrostatique E 2-1 : Définition Que l'on approche une charge q ou une charge q' à une distance r d'une charge source Q, la loi de Coulomb indique que : Le rapport F/q est indépendant de q ou q'; il ne dépend que de la charge source Q et de la distance par rapport à cette source. On l'appelle champ électrostatique. unité  de E: volt par mètre Vm-1  est le champ électrostatique créé par la charge source Q en un point

Chapitre 9 ´ ´ ESPACES PREHILBERTIENS REELS ET COMPLEXES 1 Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples usuels d’espaces pr´hilbertiens r´els . . e e 1.3 Norme euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e 1.4 Espaces pr´hilbertiens complexes . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

que : e e < ., . > est un produit scalaire sur E. (b) Version 1 Notons (. | .) le produit scalaire canonique de Mn+1,1 (R). n Observons que si P = n ak Pk et Q = k=0 n bk Pk sont deux ´l´ments de E de matrices U et V dans la base ee k=0 ak bk = (U | V ). (P0 , P1 , . . . , Pn ) de E alors : < P, Q >= k=0 Rappelons que la base canonique (E1 , E2 , . . . , En+1 ) de Mn+1,1 (R) est une base orthonorm´e pour le produit scalaire e canonique (. | .) de Mn+1,1 (R)

Soit q ∈ Q(E). Montrer que ∀x, y, z ∈ E, q(x + y + z) = q(x + y) + q(y + z) + q(z + x) − q(x) − q(y) − q(z). −→ − 1 Exercice 4: Soit q ∈ Q(Rn ) de forme polaire ϕ. Montrer que ∀x, y ∈ Rn , ϕ(x, y) = 2 < gradq(x), y > où < ., . > désigne le produit scalaire usuel sur Rn . Exercice 5: Donner dans chaque cas la matrice, la forme polaire associée, la décomposition en carrés, le rang, la dégénérescence, la signature et la positivité des formes quadratiques suivantes : 1) q(x, y) = 2x2 − 4xy + 5y 2 2) q(x

et U est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car

1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈

d´finie positive et (ei ; ej ) est le transpos´ du u e e e vecteur (ei ; ej ). L’espace des individus est donc muni du produit scalaire : ei, ej = ei M ej . Le choix de M d´pend de l’utilisateur. En pratique les m´triques usuelles en ACP sont en e e nombre r´duit : ` part la m´trique M = I (Matrice identit´ de rang p ) ce qui revient ` utiliser e a e e a le produit scalaire usuel, la m´trique la plus utilis´e ( et qui est souvent l’option par d´faut des e e e logiciels d’ACP ) est la m´trique diagonale

ЄO+(E) Plus généralement la regle des signes fonctionne Remarque : le choix d’une bon établit une bijection entre les ensemble de la colonne de gauche et ceux de la colonne de droite Opération et produit vectoriel dans Rn E=Rn produit scalaire usuel e bon canonique Rappel : il existe une unique application n-linéaire En →R Det (e1,e2,…,en)=1 Det (x1,x2,…,xn)=0 ⇔ la famille { x1,x2,…,xn} est liée Pour A=(aij)ЄMn(R) x1=[pic] x2=[pic] … xn=[pic] On note det(A)=

il n'y avait plus au sérieux par un scientifique de génie aujourd'hui oublié. Tesla n'a jamais révélé le secret de ces grandes inventions. Américains d'aujourd'hui selon laquelle les Soviétiques ont longtemps découvert que l'utilisation des ondes scalaires Tesla. Temps interpréter le fait que les Soviétiques étaient en pourparlers sur SEL en 1975, de manière inattendue a proposé de limiter le développement de nouvelles armes "plus effrayant que tout ce que l'homme peut imaginer." L'une de ces armes