Combinaison linéaire

de données. En effet, une composante principale est une combinaison linéaire des variables initiales. Par conséquent, le rôle de chaque composante principale peut être déterminé par les variables d'origine qui contribuent le plus à sa construction, soit les plus corrélées. Lorsque l'on fait une ACP en utilisant la métrique D1/², ce qui revient à travailler sur le tableau de données centré et réduit, ces coefficients de corrélation linéaire r(ck,xj) peuvent alors être calculés par la formule :

question précédente, pour (α, β) ∈ R2 , matB (αp + βq) = diag(α, α, β). En particulier, matB (αp + βq) est une matrice diagonale. Si maintenant h est l’endomorphisme de matrice Y dans la base B, alors h2 = f car Y 2 = D mais h n’est pas une combinaison linéaire de p et q car Y n’est pas diagonale. 9) Puisque f est diagonalisable, R3 = E1 ⊕ E4 où E1 = Ker(f − id) et E4 = Ker(f − 4id). Soit h un endomorphisme de R3 tel que h2 = f. Alors h et f commutent et on sait que E1 et E4 sont stables par h ou

pour le vecteur nul. On dit aussi que − → − → λ1 x1 + · · · + λp xp est une combinaison linéaire. Plus précisément, c’est la combinaison →, . . . , − →) de coefficients (λ , . . . , λ ). linéaire des vecteurs (− x x 1 p 1 p − → − → Une partie {x1 , . . . , xp } est liée si et seulement s’il existe des coefficients (λ1 , . . . , λp ) → +· · ·+λ − → non-(tous nuls) tels que la combinaison linéaire λ1 − x 1 p xp s’annule. En d’autres − → − → termes, une partie {x1 , . .

bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons linéaires de termes en et , dont on connaît une primitive. Voici un exemple. D'où une primitive de : Observons que

l’application linéaire φ de Rr−1 [X] dans Rr définie par : P → (P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λr )). Déterminer le noyau de φ, puis en déduire qu’il existe un unique polynôme L de Rr−1 [X] tel que pour tout i ∈ {1, . . . , r}, L(λi ) = eλi . 4. Pour i ∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme li de Rr−1 [X] par : r li (X) = k=1 k=i X − λk . λi − λk (a) Calculer li (λj ) selon les valeurs de i et j dans {1, . . . , r}. (b) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des polynômes

Eléments neutre : o+u=u Multiplication par un réel : δxv=δv Base et repère de G espace vectoriel Base de G On appelle famille générative un ensemble de vecteur tel que tout élément de l’espace vectoriel, puisse s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de ces vecteurs. V=δ1v1+δ2v2+δ3v3 Si (v1, v2, v3) sont orthogonaux deux à deux et == → Base orthonormée Repère de G So on particularise un point O de G pour ne considérer que des bipoints ayant que ce point O pour origine alors n’importe

. Puis montrer que ( 1 , 2 ) est une base de R2 . A2) Exprimer le vecteur e1 (resp. e2 ), comme combinaison lin´aire des vecteurs e Soit f : R2 → R2 , l’application lin´aire d´finie par f ( 1 ) = e e 1 1, 2. et f ( 2 ) = − 2 . A3) Pr´ciser la matrice A de f dans la base ( 1 , 2 ). Calculer A2 . Que pouvez vous dire de e f ◦f ? A4) Exprimer le vecteur f (e1 ) (resp. f (e2 )), comme combinaison lin´aire des vecteurs de e1 , e2 . e A5) En d´duire B la matrice de f dans la base (e1 , e2 ). Quelle

par une seule : Toute combinaison linéaire de F appartient à F (stabilité par combinaison linéaire) : ∀ u∈F, ∀ v∈F, ∀ λ ∈ R, ∀ µ ∈ R , λ u + µ v ∈ F Preuve. 1) Comme tous les éléments de F sont des éléments de E, ils vérifient naturellement toutes les propriétés de l’espace vectoriel. Le seul risque est qu’au cours des opérations, on sorte de F pour aller dans E : ce risque est 2 éliminé par les propriétés exigées par le théorème. 2.1) si F est stable par combinaison linéaire c’est à dire λ u + µ

conditions se vérifie par un système linéaire. Indication pour l’exercice 2 E est un sous-espace vectoriel de R4 . Une base comporte trois vecteurs. Indication pour l’exercice 3 C’est une base pour t = ±1. Indication pour l’exercice 4 Il n’y a aucune difficulté. C’est comme dans R3 sauf qu’ici les coefficients sont des nombres complexes. Indication pour l’exercice 5 Il suffit de montrer que la famille est libre (pourquoi ?). Prendre ensuite une combinaison linéaire nulle et regarder le terme de

vide. Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs[ > ] Famille génératrice DéfinitionOn appelle combinaison linéaire des vecteurs de la famille F=(e⃗ i)1≤i≤n tout vecteur x⃗  de Epouvant s'écrire x⃗ =∑i=1nλie⃗ i avec λ1,…,λn bien choisis. ExempleUne somme sur le vide étant égale au vecteur nul, le vecteur nul est le seul vecteur combinaison linéaire de la famille vide. DéfinitionOn appelle espace vectoriel engendré par la famille F=(e⃗ i)1≤i≤n, le sous-espace vectoriel