Continuité territoriale

paramètre. Bien sûr, on ne peut pas en général calculer explicitement la valeur de F(x) pour chaque x. Pour pouvoir étudier F, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si F est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée. Continuité d'une intégrale à paramètre Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Il existe une fonction g:J->R intégrable telle que, pour tout x de I et tout t de J, on a 2. Pour tout t de J, la fonction est

on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln 1 − ln 1 − −10 10 n n × = n ln 1 − . = −10 × 1 −10 n −10 n n 10 ln(1 + h) En posant h = − , on a lim h = 0 et on sait que lim = 1. n→+∞ n h→0 h Donc lim ln [P(S n = 0)] = −10 et par continuité de la fonction exponentielle : lim P(S n = 0) = e−10 . n→+∞ n k+1 n→+∞ b. P(S n = k + 1) = 10 n k+1 1− 10 n n−k−1 = 10 10 k+1 10 n−k−1 n − k n 10 k 10 n−k n! n ×n = 1− 1− = k (k + 1)!(n − k − 1)! n n k +1 n n 1 − 10 × n

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives: Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x 7→ F(x)

Intégrales doubles et triples 14 - 1 Sommaire 1. Intégrales doubles 1.1. Descrition hiérarchisée de ∆. 1.2. Intégrale double . . . . . . . . 1.3. Théorème de Fubini . . . . . . 1.4. Un cas particulier . . . . . . . 1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . 1.6. Changement de variables . . 1.7. Coordonnées polaires . . . . . 2. Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3. Calculs divers 3.1. Aire ou volume de ∆ 3 3.2. Masse

-; I ~ Q j --.J ~ '-" :::) ~ --" e) ---A .J:. .-.Q ~ ao~~~ ~ ) 0 ~ ~ ~""£ ~ ~ JJu, ~\i\--t" \-i (-V/ ~ ') \clh ~ u.a. Soit Jet g deux fOIl.¢tionsqOhtiIl.ues,a etbdeux teelsdelteis que a ~ ..b. Lorsque f~ g sur [a, 15] , l'aire en \)-,i1; qu dpmaine Iitnite par \es courbes '7b et C(jg sur [a, 15] (en bleute sur la f figure)et calculee par : aire(@) I t(- l& ''''-. s'o~ ~) ~'t I q)Q.'00", = J (g(t) b - f(t))dt. €.'"

morceaux sur un segment . . . . . 1.2 R´vision du cours de premi`re ann´e sur l’int´grale des fonce e e e tions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . 1.3 L’int´grale fonction d’une borne . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Continuit´ par morceaux sur un intervalle quelconque . e 1.3.2 L’int´grale comme fonction d’une borne . . . . . . . . . e 1.4 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La formule fondamentale du calcul diff´rentiel et int´gral et

SESSION 2002 CONCOURS COMMUNS POLYltCNNlQUIS MPM104 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP Durée : 4 heures Les cwlc.ulutr-iws sont autorisées. :;: ::: :j: NB : Le candidat attachera la plus _cmxJe importance II 1s clarté. à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amen6 h repérer ce qui peut lui hemhIer être une erreur d’t!noncé, il le signalera sur sa copie et de\(ra poursui\w sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a étf

Théoreme des valeurs intermédiaires : Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b] On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)]. Existence d'une solution

Chapitre 1 1 Chapitre 2 2 Chapitre 3 Variables al´atoires continues e 3.1. Variables al´atoires continues e D´finition: e On dit qu’une v.a.r X d´finie sur l’espace de probabilit´ (Ω, A, P ), est continue si X(Ω) contient e e au moins un intervalle de R. Remarques: On ne rencontrera dans la suite que des v.a.r. X absoulument continues pour lesquelles, ∀x ∈ R, P (X = x) = 0. Les ´v´nements de probabilit´ non nulles seront donc les e e e intervalle R. Contrairement au cas discret, l’ensemble

Correction du baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. 4 points a. x 1 ⇒ ex e1 ou encore ex e ⇒ ex > 1 (par croissance de la fonction exponentielle). f est donc bien définie pour x 1. H est bien définie pour x 1 comme intégrale d’une fonction continue car quotient de deux fonctions continues sur [1 ; +∞[, le dénominateur ne s’annulant pas comme on l’a vu précedemment. c. Sur [1 ; +∞[, x > 0 et ex − 1 > 0 (voir a.), donc la fonction f est positive sur l’intervalle