Continuité territoriale

: { R x → R → 1+λx .x2 n a. Discuter la convergence simple ( suite ou s´rie :` voir )de fonctions selon λ e a b. Etudier la convergence uniforme sur R CCP 41 gn (x) = ln(1 + 2n .x2 ) , et G(x) = 2n+1 gn (x) n 0 Domaine de d´finition, de continuit´ et de d´rivabilit´ de G? e e e e CCP 42 8 points. Cours Soit une s´rie enti`re e e n 0 an z n de rayon R > 0. a. Montrer que la s´rie converge uniform´ment sur B(0,r) pour r < R. e e b. Montrer que la somme est continue sur la boule ouverte

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de

rapproche de x0 » On note lim x!x0 f .x/ D C1. Définition 1.3 Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet ` pour limite lorsque x tend versC1si « f .x/ se rapproche de ` lorsque x est de plus en plus grand » On note lim x!C1 f .x/ D `. 2. Continuité Définition 2.1 Soit f WD ! Rune fonction et x0 2 D.On dit que f est continue en x0 • si f admet une limite quand x tend vers x0 • et si cette limite est égale à f .x0/. C’est-à-dire, f continue en x0 ” lim x!x0 f .x/ D f .x0/ Remarque

n |x - y|  ak+1 - ak  b-a n Choisissons un pas plus fin que h, obtenu pour les entiers n qui vérifient : Calcul intégral. Page 13 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ æb-aö n  Eç ÷+1 è h ø |x - y|  h Ainsi : De la continuité uniforme de ¦, on déduit : |¦(x) - ¦(y)|  e Cette dernière inégalité étant valable pour tous x et y de [ak, ak+1]. En particulier pour un x tel que ¦(x) = Mk et un y tel que ¦(y) = mk (existent bien car ¦ atteint ses bornes) : Mk - mk 

a Dans le cadre de l’intégrale de Riemann, pour f régulière, ces résultats s’obtiennent aisément : la continuité de f fournit le premier, et l’existence d’une dérivée continue suffit au second. La question est : l’intégrale de Lebesgue permet-elle d’étendre ces résultats, en relaxant les hypothèses de régularité effectuées sur f ? La réponse est affirmative : Définition : (Absolue continuité) [1], p.178 On dit qu’une fonction f définie sur un segment [a, b], à valeurs dans C, est absolument continue

MATH REVISION D’après le théorème des valeurs intermédiaires on déduit que g(x) = 0 admet une solution unique α. Aire d’un triangle isocèle = (base*hauteur)/2 (x-a)² + (y-b)² = R² => le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon R. Si 2 racines : f(x) = a(x-x1)(x-x2) Si une racine ; f(x) = a(x-x0)² Les limites : Formes indéterminées : « ∞ - ∞ » ; « 0 × ∞ » ; « ∞/∞ » ; « 0/0 » Asymptotes verticales : x = a lim f(x) = -∞ et lim f(x) = +∞ x→a- x→a+ Asymptotes

Un peu de topologie La topologie est la branche de la géométrie qui s'occupe des propriétés des formes qui subsistent quand ne comptent ni les distances, ni les angles. D'un point de vue topologique, une pomme et une banane sont identiques, parce que la surface d'une banane peut être déformée pour devenir celle d'une pomme. Certaines formes ne peuvent pas être déformées en d'autres : par example, un ballon ne peut pas être déformée en cerceau, parce qu'un cerceau est «troué», tandis qu'un ballon

Ch 9 : Calcul intégral – Notion de primitives Savoirs faire |Savoir … |Comment faire ? | | |. Si on connaît une primitive F de f sur [a ; b], alors | | |[pic] = F(b) – F(a). | |

Devoir 1 Exercice 1 a. f(a,b,c) = a.b(barre).c + c.b (barre) + c(barre).a.b(barre) f(a,b,c) = cb(barre)*(a+1)=cb(barre)a(barre) b(barre)*[ca(barre)+ac(barre)]=b(barre) b. Tableau de Karnaugh : a.!b.c+c.!b+!c.a.!b b.c b.!c !b.!c !b.c a 0 0 1 1 A ! 0 0 0 1 Ecriture simplifié : a !b + !b c c) Exercice 2. Avec u0=1 u1 = 1+8/2+1 u1 = 9/3 = 3 u2 = 3+8/6+1 u2 = 11/7 2.2 h( x ) = (x +8) /(2x +1) a) variations de h sur [0; 5] Soit

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors il existe au moins une fonction F dérivable sur I telle que f soit la dérivée de F sur I. On dit alors que F est une primitive de f sur I Définition Générale: F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et si pour tout x dans I, F '(x) = f (x). |Par exemple, si f est définie que IR par: f(x) = 2x, on remarque que la fonction F définie sur IR par F(x) = x² admet pour dérivée f. F est une primitive de f sur