Continuité uniforme

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞

Chapitre 3 Notion de continuité sur un intervalle 1. Page d’ouverture • Activité 2 Lucile a intérêt à regrouper tous les objets : le colis pèsera 120 g et l’envoi coûtera 2,40 €. Deux envois, voire 3, dépasseront cette somme car 1,45 € + 0,60 € ou 1 + 0,60 ne permet pas d’envoyer un colis de poids 120 g, et 1 + 1,45  2,40. 1 a) 1 solution ; 0 solution ; 0 solution ; 2 solutions. b) Cette condition est aussi nécessaire. c) Si f est de plus strictement monotone, l’équation

régulière du DLn de f. En revanche, le fait qu'une fonction admette un DLn en x0 n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x0 (par exemple x ↦ x3sin(1/x) – prolongée par continuité en 0 – admet, en 0, un DL2 mais pas de dérivée seconde). On peut juste déduire, de l'existence d'un DL0 en x0, la continuité en x0, et, de l'existence d'un DL1 en x0, la dérivabilité en x0. Quelques utilisations[modifier | modifier le code] Le développement d'ordre 0 revient à écrire que ƒ est continue en

du premier ordre. 2. Montrer que admet une limite en . 3. Etudier la continuité de la fonction { | | 4. Etudier la dérivabilité de , dresser son tableau de variation et tracer son graphe. Correction exercice 1. Pour tout , est la composée de fonction dérivable donc ( Donc est dérivable. ) est solution de l’équation différentielle du premier ordre 2. 3. Pour , la fonction est continue, il reste à regarder la continuité en . | | Donc 4. Si est continue en . , est dérivable. En | | :

√ =√ . = = Pour −1 ≤ h ≤ 1 avec h = 0, 2 h h h( 1 − h + 1) 1 − h2 + 1 √ f (h) − f (0) 1 − h2 − 1 = = 0. Or lim 1 − h2 + 1 = 2 donc lim h→0 h→0 h h La fonction f est alors dérivable en 0 et f (0) = 0. 1.3 dérivabilité et continuité Propriété : f est une fonction définie sur un intervalle I, a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Démonstration : On suppose que f est dérivable en a, c’est à dire, pour h = 0 tel que a + h ∈ I, f (a + h)

Résumé Limites Continuité Dérivabilité TTP Les Résumés de Tonton Paul I. Limites, continuité, dérivabilité A) Continuité et limites 1°/ Définitions Définition 1 : Soient f une fonction définie sur I à valeurs dans ℜ et a un point de l’intervalle I ; On dira que f est continue en a si et seulement si : pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η implique f ( x ) − f (a ) ≤ ε Toutes les fonctions usuelles, sauf la fonction partie entière sont continues là où elles sont définies. lq Définition

Résumé des notions du chapitre 1 Notion chapitre 1 Rôle des paramètres a, b, h, k Réciproque Composé de fonctions Formule Résultat Étirement pour a et b Translation pour h, k Intervertir les variables dépendantes f-1 et indépendantes f ο g = f(g(x)) Cela se termine toujours par une fonction Fonction définie par parties Fonction racine carrée Plusieurs fonctions f ( x ) = a b( x − h ) + k Recherche de la règle d’une fonction racine carrée Cela prend un sommet et un point quelconque. Le paramètre

Correction Bac S Obligatoire - Métropole - Septembre 2013 Correction Baccalauréat S - Obligatoire Métropole - Septembre 2013 www.math93.com / www.mathexams.fr Ce sujet est le sujet de remplacement de septembre. Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité maths Exercice 1. Étude de fonctions (6 points) Commun à tous les candidats → → − − Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère O, ı ,  . Partie A Sur

I. Etudes de fonctions : rappels et prolongements Fonctions irrationnelles. 1. Exercices de révision Etudier les fonctions suivantes : 1. f1 (x) = 2x3 + x2 - 13x + 6 3x  5 2. f2 (x) = 1  2x 3. f3 (x) = x3 4  x2 4. f4 (x) = 2x 2  6x  4 x2 2. Tangentes au graphe d'une fonction. 2.1 Tangente en un point donné du graphe d'une fonction Soit à déterminer l'équation de la tangente au graphe de f2 (x) = 3x  5 au point d'abscisse 2. 1  2x 65 1   nous avons la coordonnée complète d'un point

Analyse de données Chapitre I: Rappel I. Terminologie II. Analyse Univariée III. Analyse Bivariée: Cas de deux variables quantitatives I. Terminologie Statistique • La statistique est une méthode scientifique dont l’objet est de recueillir, d’organiser, de résumer et d’analyser les données d’une enquête, d’une étude ou d’une expérience, aussi bien que de tirer les conclusions logiques et de prendre les décisions qui s’imposent à partir des analyses effectuées. Population •