Continuité uniforme

Fonctions : limites et continuité Terminale S Exercices d’entrainement pour le chapitre 03 (limites et continuité) 0.1 Énoncés Exercice 5. Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbe Cf admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses : 1. f : x −→ 3x2 − 2 sur R x2 + 1 2. f : x −→ 2 − 3x sur R +x+1 x2 Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R∗ par : f (x) = x2 + 3x + 2 x Démontrer que la droite D d’équation y = x + 3 est une asymptote à la

Lycée JANSON DE SAILLY 23 novembre 2012 EXERCICE CONTRÔLE N O Tle ES Durée 2 heures 3 ( 1,5 points ) 1 En 2011, le prix moyen d’un lingot d’or d’un kg est de 36 479 C, contre 15 278 C en 2006. Calculer le pourcentage annuel moyen d’évolution du prix du lingot d’or entre 2006 et 2011. EXERCICE ( 1,5 points ) 2 On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions f , g et h définies sur R. Cf -3 -2 -1 y y 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 1 2 3 x

RESUME A) SUITES DE FONCTIONS, CONTINUITE ET INTEGRATION Théorème 0.1 (Continuité) I est un intervalle de R, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions définies de I dans R telle que : i) fn −→ f CU (converge uniformément) ii) ∀n ∈ N : fn continue en a Alors : f est continue en a Théorème 0.2 (généralisation) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn continue dans [a, b] Alors : f est continue dans [a, b] Théorème

Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions mesurables positives. Alors, lim inf fn dµ ≤ lim inf n→∞ n→∞ fn dµ. La th´eor`eme de convergence domin´ee, utile tel quel, permet aussi d’obtenir ces deux r´esultats de continuit´e et de diff´erentiabilit´e sous l’int´egrale. Th´ eor` eme 17 (Continuit´ e par rapport ` a un param` etre). Soit f : Ω×E −→ R telle que 1. pour tout t ∈ E, la fonction ω → f (ω, t) est mesurable, 2. pour µ-presque tout ω ∈ Ω, la fonction t → f (ω, t) est continue en a ∈ E, 3. il existe

C ORRECTION DU B AC ES DE P ONDICHÉRY AVRIL 2013 Correction de l’exercice 1 1. F est une primitive de la fonction f sur R si pour tout x réel F ′ (x) = f (x). Il suffit donc de calculer la dérivée de la fonction F , soit F (x) = eu(x) donc f ′ (x) = u ′ (x) × eu(x) donc f ′ (x) = −2x × e−x 2 donc la bonne réponse est la réponse B. 2. h(x) = 0 ⇐⇒ (7x − 23)ex = 0, or ex > 0 donc h(x) = 0 ⇐⇒ 7x − 23 = 0 ⇐⇒ 7x = 23 ⇐⇒ x = 23 7 donc l’équation a une solution sur [0 ; +∞[ donc la bonne réponse

 CHAPITRE 1 : Fonctions, dérivation et continuité I Rappels sur les droites: Remarque sur le calcul du coefficient directeur : Cas où on connaît les coordonnées de 2 points de la droite A(xA ; yA) et B(xB ; yB) alors a = ……………………………… Cas de la tangente à la courbe d’une fonction f au point d’abscisse x0 alors a = …………..………………………….. Exercice : a) Déterminer une équation de la droite (AB) où A (– 5 ; 8) et B (2 ; 6). …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………

Activité 1 : On étudie l'évolution d'une population de rongeurs sur une île pendant plusieurs années et on a représenté graphiquement les premiers termes des suites ainsi obtenues. a) b) c) d) e) f) 1) Dans chacun des cas suivants, décrire l'évolution observée. On souhaite utiliser ces études pour prévoir la population à l'avenir, en supposant que l'évolution continue de la même façon. 2) Dans quel(s) cas la population semble-t-elle se stabiliser ? Autour de quelle « population limite » ? →

DERNIÈRE IMPRESSION LE 22 juillet 2015 à 16:27 La fonction exponentielle Table des matières 1 La fonction exponentielle 1.1 Définition et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle . 1.3 Relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Autres opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Étude de la fonction exponentielle 2.1 Signe . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variation

paramètre. Bien sûr, on ne peut pas en général calculer explicitement la valeur de F(x) pour chaque x. Pour pouvoir étudier F, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si F est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée. Continuité d'une intégrale à paramètre Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Il existe une fonction g:J->R intégrable telle que, pour tout x de I et tout t de J, on a 2. Pour tout t de J, la fonction est

on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln 1 − ln 1 − −10 10 n n × = n ln 1 − . = −10 × 1 −10 n −10 n n 10 ln(1 + h) En posant h = − , on a lim h = 0 et on sait que lim = 1. n→+∞ n h→0 h Donc lim ln [P(S n = 0)] = −10 et par continuité de la fonction exponentielle : lim P(S n = 0) = e−10 . n→+∞ n k+1 n→+∞ b. P(S n = k + 1) = 10 n k+1 1− 10 n n−k−1 = 10 10 k+1 10 n−k−1 n − k n 10 k 10 n−k n! n ×n = 1− 1− = k (k + 1)!(n − k − 1)! n n k +1 n n 1 − 10 × n