Continuité uniforme

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives: Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x 7→ F(x)

Intégrales doubles et triples 14 - 1 Sommaire 1. Intégrales doubles 1.1. Descrition hiérarchisée de ∆. 1.2. Intégrale double . . . . . . . . 1.3. Théorème de Fubini . . . . . . 1.4. Un cas particulier . . . . . . . 1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . 1.6. Changement de variables . . 1.7. Coordonnées polaires . . . . . 2. Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3. Calculs divers 3.1. Aire ou volume de ∆ 3 3.2. Masse

-; I ~ Q j --.J ~ '-" :::) ~ --" e) ---A .J:. .-.Q ~ ao~~~ ~ ) 0 ~ ~ ~""£ ~ ~ JJu, ~\i\--t" \-i (-V/ ~ ') \clh ~ u.a. Soit Jet g deux fOIl.¢tionsqOhtiIl.ues,a etbdeux teelsdelteis que a ~ ..b. Lorsque f~ g sur [a, 15] , l'aire en \)-,i1; qu dpmaine Iitnite par \es courbes '7b et C(jg sur [a, 15] (en bleute sur la f figure)et calculee par : aire(@) I t(- l& ''''-. s'o~ ~) ~'t I q)Q.'00", = J (g(t) b - f(t))dt. €.'"

SESSION 2002 CONCOURS COMMUNS POLYltCNNlQUIS MPM104 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP Durée : 4 heures Les cwlc.ulutr-iws sont autorisées. :;: ::: :j: NB : Le candidat attachera la plus _cmxJe importance II 1s clarté. à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amen6 h repérer ce qui peut lui hemhIer être une erreur d’t!noncé, il le signalera sur sa copie et de\(ra poursui\w sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a étf

Théoreme des valeurs intermédiaires : Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b] On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)]. Existence d'une solution

) 3.6. Mod`les probabilistes continue e Dans tout ce chapitre, X d´signe une v.a.r. absolument continue. On note f sa densit´ de e e probabilit´ et F sa fonction de r´partition. e e 3.6.1. Loi uniforme Definition: Soit a, b ∈ R avec a < b. On dit que X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a, b] si sa densit´ f e est d´finie par e  1  si a ≤ x ≤ b  b−a fX (x) =   0 si sinon On note en abr´g´ X ∼ U([a, b]) e e Remarque: On a bien +∞ f (x)dx = −∞ 1 b−a b dx = a

Correction du baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. 4 points a. x 1 ⇒ ex e1 ou encore ex e ⇒ ex > 1 (par croissance de la fonction exponentielle). f est donc bien définie pour x 1. H est bien définie pour x 1 comme intégrale d’une fonction continue car quotient de deux fonctions continues sur [1 ; +∞[, le dénominateur ne s’annulant pas comme on l’a vu précedemment. c. Sur [1 ; +∞[, x > 0 et ex − 1 > 0 (voir a.), donc la fonction f est positive sur l’intervalle

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de

rapproche de x0 » On note lim x!x0 f .x/ D C1. Définition 1.3 Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet ` pour limite lorsque x tend versC1si « f .x/ se rapproche de ` lorsque x est de plus en plus grand » On note lim x!C1 f .x/ D `. 2. Continuité Définition 2.1 Soit f WD ! Rune fonction et x0 2 D.On dit que f est continue en x0 • si f admet une limite quand x tend vers x0 • et si cette limite est égale à f .x0/. C’est-à-dire, f continue en x0 ” lim x!x0 f .x/ D f .x0/ Remarque

a Dans le cadre de l’intégrale de Riemann, pour f régulière, ces résultats s’obtiennent aisément : la continuité de f fournit le premier, et l’existence d’une dérivée continue suffit au second. La question est : l’intégrale de Lebesgue permet-elle d’étendre ces résultats, en relaxant les hypothèses de régularité effectuées sur f ? La réponse est affirmative : Définition : (Absolue continuité) [1], p.178 On dit qu’une fonction f définie sur un segment [a, b], à valeurs dans C, est absolument continue