Continuité uniforme

2010 Détails Catégorie : Fonctions numériques   On considère la fonction f définie sur  par  et on note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonomé  (unité 0,5 cm) A) Etude d'une fonction auxiliaire : soit g la fonction définie sur , par .   1) Etudier les variations de g   2) Déterminer alors le signe de g(x) pour    B) Etude et représentation graphique de la fonction f : 1) Etudier les limites de f en  et en    2) Montrer que la droite (D) d'équation y = 2x + 4 est

Chapitre 6 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 6.1 D´ efinitions On d´efinit trois fonctions sur R par ex + e−x (cosinus hyperbolique), 2 ex − e−x sh x = (sinus hyperbolique) et 2 sh x (tangente hyperbolique). th x = ch x ch x = Remarques : • On utilise parfois coth x = 1 · th x • Le terme hyperbolique se justifie g´eom´etriquement. En effet, en posant : quand t d´ecrit R, M de coordonn´ees (x, y) d´ecrit une branche d’hyperbole. 6.2 Trigonom´ etrie hyperbolique Dans toute la suite, a et b d´esigneront

encadrements Troisi` eme partie Prop 16.1. Soit I un intervalle de R, a un point ou une borne de I, f et g d´efinies sur I, telles que f (x)  g(x) pour tout x dans I. Si f et g admettent des limites (finies ou infinies) en un point a, on a : Continuit´ e 17 D´ efinition lim f (x)  lim g(x). x!a x!a Attention. Mˆeme si on a une in´egalit´e stricte entre f et g pour tout x, l’in´egalit´e portant sur les limites est large : il peut y avoir ´egalit´e des limites. Les deux fonctions suivantes

−x + C 4 sin −x pour x ∈] − ∞,0 [ © dpic Ð inpl Ð mai 1999 Equations diffŽrentielles linŽaires du 2•me ordre. U.M.N. 11. Exercices corrigŽs. RACCORDEMENT DE LA SOLUTION EN 0 • Continuité de la solution en 0 lim f+ (x) = C1 et lim f− (x) = C3 x→0 + x→0 − la solution sera continue en 0 ssi C1 = C3 • Continuité de la dérivée première en 0 f+ (x) − C1 C (ch x − 1) + C2sh x 1 x = lim 1 = (C2 x + C1 + ο(x)) + 2 x x−0 x x→0 x→0 C la lim ite est finie ssi C2 = 0, la dérivée à droite en 0 vaut alors

t/2 π/2 cos(nt) dt + ln(t) cos(nt) dt 0 Par intégration par parties, Exercice 3 : [énoncé] a) 0, cf. lemme de Lebesgue. b) Posons π/2 ln(t) cos(nt) dt = π/2 In = 0 0 sin(2nt) cos t dt sin t Cette intégrale existe car un prolongement par continuité est possible en 0. On observe sin(2(n + 1)t) − sin(2nt) = 2 sin t cos(2n + 1)t et donc 1 ln(π/2) sin(nπ/2) − n n nπ/2 0 sin u du u La fonction t → ln sin(t/2) se prolonge en une fonction de classe C 2 sur [0, π/2]. t/2 Par intégration par parties

Séquence 5 La fonction logarithme népérien Objectifs de la séquence ̈ Introduire une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien. ̈ Connaître les propriétés de cette fonction : sa dérivée, ses variations, sa courbe, sa relation fonctionnelle. ̈ Apprendre à utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture ou pour résoudre des équations. Sommaire 1. Pré-requis 2. Premières notions sur la fonction logarithme népérien 3. Courbes des fonctions exp et ln 4. Dérivée et tableau

2: suite d´ecroissante sauf les premiers termes + suite born´ee inf´erieurement 0.5, 0.9, 0.6, 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 · · · . an = 1 for n > 3 10n−4 ´ 3 LA CONTINUITE 15 • cas 3: certains autres cas 1 1 1 1 1, 0, − , 0, , 0, − , 0, · · · . an = 2 4 8 16 3 (−1) n−1 2 1 2 0, n−1 2 , si n impair, si n pair. La continuit´ e 3.1 D´ efinition Rappellez-vous que si f (x) est un polynˆome, alors lim f (x) = f (c). Ces types x→c de limites sont faciles a` calculer. Ceci m`ene a` la d´efinition

FONCTIONS ET COURBES REPRESENTATIVES I) INTRODUCTION......................................................................................................................................................................... 1 II) COURBE REPRESENTATIVE D’UNE FONCTION .......................................................................................................... 2 A) B) C) III) A) 1) 2) B) 1) 2) C) IV) A) B) V) DEFINITION ..............................................................

Correction du baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1. a. x 1 ⇒ ex e1 ou encore ex e ⇒ ex > 1 (par croissance de la fonction exponentielle). f est donc bien définie pour x 1. H est bien définie pour x 1 comme intégrale d’une fonction continue car quotient de deux fonctions continues sur [1 ; +∞[, le dénominateur ne s’annulant pas comme on l’a vu précédemment. b. On sait que H ′ (x) = f (x) : H est la primitive de f qui s’annule pour x = 1. c.

Chapitre 6 Chapitre 6. Intégration 15 9 –3= . 2 2 Activités et applications 2. A = Ig – If = 1. Intégrale d'une fonction continue et positive 3. a) h(x) = – x2 + x + 2. On vérifie que les racines de – x2 + x + 2 sont – 1 et 2. Donc, h(x) = – (x + 1)(x – 2). D’après les règles de signe des polynômes du second degré, h(x) у 0 pour tout x ∈ [– 1 ; 2]. 2 2 x3 x2 b) h(x) dx = – + + 2x 3 2 –1 –1 8 4 –1 1 =– + +4– – + –2 3 2 3 2 8 1 3 =– +6– – 3 3 2 16 36 7 27 9 =– + + = = . 6 6 6 6 2 Activité. Aire