Convergence de variables aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas des chaînes irréductibles récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. ..  Propriétés algébriques des chaînes de Markov à espace d’états fini Exercices Bibliographie     Définitions et exemples Définition . Soit (X n )n∈N une suite de variables aléatoires de (Ω, A , P) dans un espace E fini

également utile aux étudiants de mathématiques des premières années. Nous avons choisi de garder pour certains concepts le vocabulaire usuel même lorsqu’il n’est pas très bien choisi et représente un héritage malheureux des siècles précédents (la « variable » aléatoire !). En outre la terminologie n’est pas complètement fixée. Nous avons systématiquement indiqué les variantes les plus courantes. En tout état de cause, si l’utilisateur trouve insolite l’utilisation d’un mot dans tel ou tel manuel, il ne doit

. . . . . . . . . . Image d’une probabilité, variables aléatoires 4.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Image d’une probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Les variables aléatoires réelles et leurs lois. . . . . . . . . . . . . . . L’espérance mathématique d’une variable aléatoire 5.1 Les variables aléatoires étagées. . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque. . . . . . . 5.3 Théorème du transport

une suite (Xk)k∈N∗ de variables aléatoires réelles indépendantes de loi uniforme sur ⟦0,M−1⟧ . On considère également la suite de variables aléatoires réelles (S n)n∈N définie par S 0 = 0 et : ∀n ∈ N∗, S n = n∑ k=1 Xk . On considère la variable aléatoire T définie de la façon suivante : 1. si pour tout n ∈ N∗ , on a S n < A , alors on pose T = 0 ; 2. sinon, on pose T = min { n ∈ N∗ | S n � A } . L’objectif de cet exercice est de déterminer l’espérance de la variable aléatoire T dans deux cas parti-

Exercice 8. [IMT] ('21) Soit a > 0. Déterminer la nature de la série de terme général arctan(n+ a)− arctan(n). Exercice 9. [Centrale 1] ('18, 21) 1. Énoncer le théorème des séries alternées. 2. Étudier la convergence de la série de terme général (−1)n√ n + 1 n . 3. Étudier la convergence de la série de terme général sin ( (−1)n 4√n + 1√ n ) . Stanislas 2 A. CamanesExercice 10. [Centrale 1] ('18) Pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 3, on note Sn = n∑ k=1 ln(k) k . 1. Déterminer la nature

converge et que lim un = 1. n 1 Exercice 2 Dans cet exercice, p désigne un réel de ]0, 1[ et on note q = 1 – p. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( , A, P ), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé ( , A, P ). On rappelle que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité : (Z > k) = (X > k)

. . . . 137 V Approximation des racines d’équations et de systèmes d’équations . . . . . . . . . 140 V.1 V.2 V.3 V.4 Le théorème des approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Résolution numérique d’une équation d’une variable . . . . . . . . . . . . . 143 Résolution numérique de systèmes d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Zéros réels d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .

quelconque Définitions Propriétés des intégrales convergentes Cas des fonctions positives Chapitre 5 Fonctions de n variables – Continuité 1 Graphe d’une fonction 104 104 Table des matières 2 Continuité d’une fonction de Rn dans R 3 Opérations sur les fonctions continues 4 Propriétés des fonctions continues Chapitre 6 Fonctions de n variables : calcul différentiel 1 Calcul différentiel d’ordre 1 2 Calcul différentiel d’ordre 2 Chapitre 7 Extremums

(au sens strict) de p éléments p éléments 2. {1, . . . , n}. Déterminer le cardinal de l'ensemble des suites croissantes (au sens large) de de {1, . . . , n}. Caractérisation d'une loi de probabilité Exercice 4 X une variable aléatoire à valeurs dans N ou Z dénie sur l'espace de probabilité discret (Ω, P). Démontrer que sa fonction de répartition, notée FX , dénie par Soit ∀ x ∈ R, FX (x) = P(X ≤ x) vérie les propriétés suivantes : 1. FX est croissante avec

obtenues avec les valeurs théoriques (ou valeurs approchées obtenues par les méthodes déterministe). 3.2 Evaluation le coût de la réassurance pour l’assureur direct. 4. Construction des intervalles de confiance pour des valeurs estimées et l’étude de convergence des estimateurs. 4.1 Intervalles pour les moyennes empiriques 4.2 Intervalles pour les variances empiriques, ainsi que les écart-type empiriques 4.3 Intervalles pour les primes estimées. 5. Estimation des lois empiriques 6. Annexe 2 1.Présentation