Convergence de variables aléatoires

exercices corrigés Bernard Goldfarb Catherine Pardoux 6e édition © Dunod, Paris, 2011 ISBN 978-2-10-055892-6 Table des matières Avant-propos 1. Distributions statistiques à un caractère I. Définitions 1 A. Population, individu, échantillon B. Variables 2 Représentations graphiques A. Distributions statistiqueset représentations graphiques B. Le diagramme « branche et feuille » Les indicateurs statistiques A. Conditions de Yule B. Les indicateurs de tendance centrale et de position C. Les indicateurs

non stationnarité stochastique en panel et notamment à la spéci…cation des tests de non stationnarité et de cointégration. Ces concepts théoriques seront appliqués à di¤érentes problématiques économiques, comme par exemple la problématique de la convergence des PIB par tête, que ce soit au travers de commentaires de travaux empiriques ou par la programmation d’exemples illustratifs sous un logiciel d’économétrie (TSP ou SAS à préciser) L’Econométrie des Données de Panel 3 Table des Matières

1 Variables aléatoires Soit l'univers d'une expérience aléatoire muni de la probabilité P. Dénition 1.1 (Variable aléatoire) Une variable aléatoire dénie sur associe à chaque issue, une valeur numérique. Les variables aléatoires que nous étudierons sont des applications (des fonctions) de dans R. Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu'obtenir pile rapporte 1 e, alors qu'obtenir face fait perdre 1 e. On dénit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 et X(face)

raison des caractères représentatifs de celui-ci, les observations effectuées sur l’échantillon permettent d’estimer la distribution et les caractéristiques de la population de référence. I Avantage des enquêtes par sondage : A Les coûts : Coût variable ou à la rigueur modéré par rapport à celui des enquêtes exhaustives. B les temps d’enquêtes : La rapidité de la mise en œuvre de toutes les procédures offre beaucoup d’avantage aux enquêtes par sondage. C Précision et richesse des observations

MCO : Exemple : * Soit une étude sur les pratiques culturelles. * La variable à étudier c’est la lecture. * La question lors de l’enquête c’est Diriez-vous que vous êtes plutôt quelqu’un qui lit. 1- Beaucoup de livres. 2- Moyennement. 3- Peu 4- Pas * On cherchera à rendre compte de cette auto-estimation par le sexe et le diplôme. * Pour simplifier on dichotomise chaque variable. * « beaucoup » + « moyen » FORT * « peu » + « pas » FAIBLE * Diplômes

4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 49 49 52 54 56 57 58 59 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète

P003-008R-9782100549412.fm Page III Jeudi, 18. novembre 2010 11:59 11 Table des matières Avant-propos IX 1. Distributions statistiques à un caractère © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. I. 1 Définitions 1 A. Population, individu, échantillon B. Variables 2 1 II. Représentations graphiques A. Distributions statistiqueset représentations graphiques B. Le diagramme « branche et feuille » 3 4 10 III. Les indicateurs statistiques A. Conditions de Yule B. Les indicateurs de tendance centrale et de

Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac

indépendance en probabilité Variables aléatoires réelles. Variables aléatoires discrètes Moments et fonctions génératrices d’une v.a. discrète Couples de variables aléatoires discrètes. Indépendance Lois discrètes usuelles finies Lois discrètes usuelles infinies Variables aléatoires continues Loi normale ou de Laplace-Gauss Lois dérivées de la loi normale Lois continues Simulation d’une expérience aléatoire Convergences. Théorèmes limites. Approximations Vecteurs aléatoires gaussiens 27 33 37 44

SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite définie pour tout entier naturel n par est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel n par et . b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel n par : , et On pose pour tout entier naturel n : On pose encore : et . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation