Convergence de variables aléatoires

........................................................................................... 4 II - Probabilités conditionnelles ....................................................................................................... 5 III - Variables aléatoires réelles ....................................................................................................... 6 C- Exemples de lois de probabilités discretes................................................................................

d’extinction du processus est solution de θ = E(θD ) = F (θ), ou F est la fonction génératrice de D. On a en fait plus précis : Théorème 1.2. La probabilité q d’extinction du processus de branchement est le plus petit point fixe de F . Si la variable aléatoire Z possède une espérance m, et que m ≤ 1, alors 1 est le seul point fixe de F sur l’intervalle [0; 1], et la probabilité d’extinction est 1. Sinon, F admet exactement un point fixe sur [0; 1[, qui est la probabilité d’extinction du processus

Introduction On se situe dans le cadre des statistiques inférentielles. On étudie un échantillon d’une population et l’on cherche à en déduire des propriétés pour la population toute entière. Les variables statistiques qui décrivent la population peuvent être considérées comme des variables aléatoires dont la répartition est caractérisée par une loi de probabilité. Échantillonnage On sélectionne un échantillon de taille par tirage au sort de la population. On détermine les intervalles

Preuve par couplage et distance en variation totale . . . . . . . . . . 5.3.1 Distance en variation totale entre deux mesures de probabilité et couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Approche par couplage pour la convergence des chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Temps stationnaires forts et distance en séparation . . . . . . . . . . 5.4.1 Deux exemples de temps stationnaires forts . . . . . . . . . . 5.5 Approche spectrale

usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 Quelques motivations 1.1 La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  P = E  1/2 0 1/2 0   S  0 1/2 0 1/2

5) Même question qu'au 4 avec 35, 40 et 50 €/mois Rayon de convergence Concours ensea 1999 On considère la suite définie pour tout n≥2 par: u2 =cos (π/4) et un =un−1cos (π/2n) On pose pour tout n≥2 vn =un sin (π /2n). Question 7 (A) La suite est strictement décroissante. (B) est une suite géométrique. (C) On a pour tout n≥3 vn =vn−1/2 (D) On a pour tout n≥2 (E) Question 8 (A) La série entière a pour rayon de convergence 1. (B) Si on appelle la somme de la série entière quand celle-ci

ıtrise des notions de s´rie et d’int´grale et du calcul matriciel. Et l’accent est mis sur les noe e tions centrales en probabilit´s et statistique que sont la loi, l’ind´pendance, l’esp´rance, e e e la variance, la fonction caract´ristique, les convergences, l’estimateur du maximum de e vraisemblance, les intervalles de confiance et les tests d’hypoth`ses plutˆt que sur les fone o dements th´oriques de ces disciplines. e Des exercices sont ins´r´s au cœur des chapitres pour permettre aux ´tudiants

à 21 et hachurer D a sur le graphique. 15 Maths Term S Le sujet Pas à pas ➤ Mobiliser ses connaissances Thèmes du programme Théorème des valeurs intermédiaires, lien entre primitive et intégrale, démonstration par récurrence, critère de convergence d’une suite monotone, fonctions exponentielle et logarithme. Théorème des valeurs intermédiaires : • Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b)

Théorème de renouvellement en Chaine de Markov Introduction : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn, n ∈ N) qui modélise l’évolution dynamique d’un système aléatoire. La v.a Xn représente l’état du système à l’instant n. La propriété fondamentale des chaînes de Markov, dite propriété de Markov, est que son évolution future ne dépend du passé qu’à travers sa valeur présente. Définitions : Soient (Ω,a,P) un espace de proba et E l’espace des états. 1) Une matrice

suite (un ). Devoir 1 – MA02-14 9 2 1 j 0 0 i 1 2 3 4 5 6 7 b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variations et à l’éventuelle convergence de la suite (un ) ? ᕣ a) Démontrer que, pour tout n ≥ 0, on a 0 ≤ u n +1 ≤ un ≤ 6. b) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (un ) ? u −1 ᕤ Soit (v ) la suite définie par v = n n n u + 2 pour n ≥ 0. n a) Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le