Coordonnées sphériques

SOMMAIRE Introduction (p.2) I Géométrie sphérique I.1 Angles dièdres et trièdres (p.4) I.2 Le plus court chemin entre deux points (p.6) I.3 Segments, droites, points, distances et angles sphériques (p.10) I.4 Triangles sphériques I.4.1 Définition (p.10) I.4.2 riangles polaires ou supplémentaires (p.12) I.4.3 Autres triangles particuliers (p.16) II Trigonométrie sphérique II.1 Formules fondamentales (p.18) II.2 Relations générales (p.20) II.3 Le triangle sphérique rectangle II.3.1 Formules (p.24) II

qu’il a été amené à prendre. *** Partie A : OPTIQUE Ce problème d’optique comprend trois parties ; un premier chapitre « Définitions » introduit l’approximation de Gauss qui sera utilisée dans les deux chapitres suivants : « Etude de miroirs sphériques » et « Etude de lentilles minces ». Les dix figures du problème d’optique sont en page 6/12. Les éléments (objets, images, rayons lumineux) seront tracés en traits pleins ( réels et en tirets (-----) s’ils sont virtuels. ) s’ils sont I. DEFINITIONS

Changement de référentiel RAPPEL DE COURS ◗ SYSTÈMES USUELS DE COORDONNÉES • Coordonnées cartésiennes • Coordonnées cylindriques —➞ —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q , e➞z ) (doc. 2). OM = x e x + y e y + z e z ; base (e x , e y , e z ) (doc. 1). y z eθ z r M ez z θ er x ez eθ M er ez ey O ex x H ez y y ex ey O θ H x x Doc. 1. Coordonnées cartésiennes (x , y , z) : —➞ ➞ ➞ ➞ OM = x e x + y e

horaire local (LHA) entre notre méridien et celui du pied du soleil, est compté de la même manière. Il est lié à GHA par la relation: LHA = GHA - Ge si notre longitude Ge est Ouest. LHA= GHA + Ge si notre longitude Ge est Est. La trigonométrie sphérique établie les relations entre les 3 côtés du triangle de position mis en évidence sur la fig. ci-dessus et nous donne les formules suivantes: • • • Le est notre latitude estimée. D est la déclinaison à l'heure TU de l'observation

couple de points objet – image situés au voisinage de l’axe optique. On a déjà montré que le dioptre plan et le miroir plan possèdent la propriété de stigmatisme. On verra que le dioptre sphérique et le miroir sphérique le sont également. Un système centré constitué de dioptres plan/sphérique et de miroirs plan/sphérique conserve donc cette propriété. - 9 3.4. Aplanétisme a. Définition La propriété de stigmatisme approché des systèmes centrés dans les conditions de Gauss entraîne les relations

d'Euclide : on considérera comme un axiome l'énoncé suivant: le plus court chemin entre deux points est une droite, ou encore le tout est plus grand que la partie. 19Ème siècle: apparition géométrie non Euclidienne : celle de Riemman, géométrie sphérique, dans cette dernière, l'axiome ne fonction plus, c'est une géodésique. De même dans cette géométrie, la somme dans angles d'un triangles est supérieur à 180°. Le tout est plus grand que la partie, ne tient plus qu'a on parle de l'infini: sois 2 suites

Configurations et coordonn´es: les premi`res r´ponses e e e 1. Carr´ et triangle ´quilat´ral e e e √ (Q 1) La diagonale d’un carr´ de cˆt´ 5 mesure 5 2. e oe Justification: soit ABCD un carr´ de cˆt´ 5. Le th´or`me de Pythagore dans le triangle rectangle e oe e e BCD permet d’affirmer BD2 = BC 2 + CD2 soit BD2 = 52 + 52 = 2 × 52 donc BD = 2 × 52 = √ 2× √ √ 52 = 5 2 √ (Q 2) Plus g´n´ralement, la diagonale d’un carr´ de cˆt´ a mesure a 2 e e e oe Justification: soit ABCD un carr´ de cˆt´ a. Le th´or`me

Donc un utilisant la relation α + θ = 2 β, et en divisant le tout par , on obtient : Relation de conjugaison d'un miroir sphérique | Cette relation permet de calculer la position de l'image à partir de la position de l'objet. | Cette relation est très importante car elle est aussi valable pour un miroir sphérique convexe. Foyer objet Le foyer objet F d'un miroir sphérique est, par définition, le point de l'axe optique dont l'image est à l'infini, c'est-à-dire ou encore. Or le foyer vérifie

comparer ces deux distances focales. Pour parvenir à un résultat final, il faut utiliser l’équation des miroirs sphériques (1) : . Comme dit brièvement auparavant, dans cette équation p est la distance entre l’objet et le miroir, q est la distance entre l’image et le miroir et f est la longueur focale du miroir. Il faut aussi recourir à l’équation du centre de courbure d’un miroir sphérique (2) : . C est le centre de courbure du miroir. Dans le laboratoire, il faut premièrement trouver le centre de

La lunette astronomique et le télescope se différencient par la nature du collecteur de lumière : - pour la lunette, c’est un ensemble de lentilles assimilable à une lentille convergente. - pour le télescope, c’est un miroir sphérique concave. La photographie ci-dessous est celle d’un télescope d’amateur qui comprend le « chercheur » et le télescope (type Newton) proprement dit. Le « chercheur » est une petite lunette astronomique de faible grossissement destinée à