Coordonnées sphériques

normée : les vecteurs de bases sont unitaires : → = 1. S’ils sont orthogonaux, la base est dite ore i → − → − 2 → → − − 2 2 2 = U · U = u1 + u2 + u3 . →→ − − ® On a U · V = U V cos(U , V ). → − → − − − − − ® Les coordonnées du vecteur U dans la base (→1 , →2 , →3 ) sont données par u i = U · →i . e e e e → − − ® Soit ∆ une droite orientée de vecteur directeur unitaire →. La composante d’un vecteur U selon la e → − → − − direction ∆ (appelée aussi projection

dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er

référentiel donné. • Apprendre à choisir le bon système de coordonnées en fonction du problème étudié. LES PRÉREQUIS • Notions sur l’intégration des vecteurs vitesse et accélération en tenant compte de conditions initiales. LES OUTILS MATHÉMATIQUES • Notions sur l’intégration vues en mathématiques. ESSENTIEL Systèmes usuels de coordonnées • Coordonnées cartésiennes —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = x ex + y ey + z ez ; base (ex , ey , ez ) (doc. 1). • Coordonnées cylindriques —➞ OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q

= a ∧ (rot b) + b ∧ ( rot a) + ( b. grad ) a + ( a. grad) b 3. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées: a. Gradient: →  ∂ U r  ∂ U r  ∂ U r * cartésiennes: grad U =   ex +   ey +   ez  ∂x  ∂y  ∂z  →  ∂ U r 1  ∂ U r  ∂ U r * cylindriques: grad U =   er +   eθ +   ez r ∂θ  ∂r   ∂z  →  ∂U  r 1  ∂ U r 1  ∂ U r * sphériques: grad U =   er +   eθ +   eϕ r  ∂θ  r sin θ  ∂ ϕ  ∂r b. Divergence: r  ∂a   ∂ a   ∂ a  * cartésiennes:

1- POSITIONNEMENT D'UN POINT OU D'UN SOLIDE 11- Position d'un point • Dans le plan: 2 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées polaires : avec • Dans l'espace: 3 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées cylindriques : avec coordonnées sphériques : avec et 12- Position d'un solide • Dans le plan: 3 paramètres, deux pour préciser la position d'un point particulier du solide et un paramètre de rotation • Dans l'espace: 6 paramètres;

base ( i , j , k ) . La position du point M est caractérisée par ses coordonnées cartésiennes x, y, z. Le vecteur d'équations OM s'écrit alors : OM  x i  y j  z k I.1.2 Repère polaire Dans le but de simplifier les calculs, il est avantageux de tenir compte de la y  symétrie du problème posé. Ainsi dans le e cas par exemple où le point matériel se  déplace sur un cercle il est intéressant er M y d'utiliser les coordonnées polaires. La  r position du point matériel M est alors j θ O  définie

trigonométrie et l’histoire : 4 -Le cercle trigonométrique : 4 -Les formules : 5 Formules de base : 5 Formules de d’addition et de soustraction: 5 Formules de Simpson : 6 -La trigonométrie Sphérique : 7 -Les Applications De La Trigonométrie Sphérique : 7 -Formules De La Trigonométrie Sphérique : 7 Formules fondamentales 7 Formules de Gauss : 8 Développement du site web 9 - Étape suivies : 9 - Contraintes et Résolutions des problèmes : 9 Sitographie 10 Bibliographie 11 -Source :

SOMMAIRE CHAPITRE 1 : - Système de coordonnées. - Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel). CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel. CHAPITRE 3 : Travail et énergie. CHAPITRE 4 : Les mouvements à force centrale. CHAPITRE 5 : Vibrations simples : Systèmes à un degré de liberté. CHAPITRE 6 : Chocs de deux particules. CHAPITRE 1 : A) SYSTEMES DE COORDONNEES Selon la nature de la trajectoire d’une particule

aux coordonnées cylindriques du point D b- Après avoir rappelé comment on trouve leur direction et leur sens, représenter sur le schéma les trois vecteurs unitaires de la base (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) 3) Faire un schéma représentant les coordonnées sphériques (r,θ,φ) d’un point M. 4) Donner les coordonnées cartésiennes (x,y,z), cylindriques (ρ,θ,z) puis sphériques (r,θ,φ) des points A et B suivants : 5) a- Rappeler l’expression des vecteurs position et vitesse d’un point repéré par ses coordonnées cartésiennes

sur ce contour. 5 Systèmes de coordonnées FIGURE 1 Coordonnées cartésiennes FIGURE 2 Coordonnées cylindriques 2/4 COMPLEMENT MATHEMATIQUE Formulaire d’analyse vectorielle Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ FIGURE 3 Coordonnées sphériques 6 Coordonnées cartésiennes grad div rot ∆ Les vecteurs unitaires , et en chaque point, constituent des champs uniformes et ont tous une divergence et un rotationnel nuls. . 7 Coordonnées cylindriques Seule la formule