Covariance

Markowitz 14  Covariance et corrélation Si la variance permet d’étudier les variations d’une variable par rapport à elle-même, la covariance entre deux variables indique si elles ont tendances à évoluer dans le même sens ou non. Elle peut être vue comme le produit des valeurs de deux variables moins le produit des deux moyennes. M. BENALI Modèle de Markowitz 15 Mathématiquement, la formule de la covariance est la suivante : On en déduit que plus la covariance est faible et plus

sur le capital. 13 Para 2 taux de return avec affectation des opérations sur le capital 14 Para 3 taux de rentabilité d’un portefeuille 15 Section 2 le risque de placement en actions. 15 Para1 la variance comme mesure du risque 15 Para 2 la covariance et le coefficient de corrélation 16 Para 3 risque d’un portefeuille 16 Section 3 structure d’un portefeuille 19 Para 1 diversification et corrélation : 19 Para 2 Détermination du portefeuille efficient 20 Section 4 le modele du marché 25

le grand axe. En effet, c’est selon celui-ci que la dispersion des valeurs est la plus grande. ACP La matrice de covariance empirique donnée pour une réalisation de X est : 0.99077570.651653120.328915300.65165310.743473380.096394940.328915300.096394940.33430483 Voici la représentation graphique comprenant les réalisations (en noir), les vecteurs propres de la matrice de covariance empirique (en vert) et ceux de Σ (en rouge). Du fait que cov(X) a des valeurs très proches de celles de Σ, leurs

taux marginal de substitution . . . . . . e 3.3.1 Rappel sur la substitution entre les diff´rents biens (TMS) e 3.3.2 Substitution entre le rendement et le risque . . . . . . . . 3.4 Covariance et droite de r´gression bivari´e . . . . . . . . . . . . . e e 3.5 Variance d’un portefeuille et matrice de variance covariance . . . . 3.6 Une diminution du coefficient de corr´lation entre 2 actifs financiers e peut r´duire le risque du portefeuille comportant ces 2 actifs . . . e 3.7 Calcul de la fronti`re efficiente

diversification sont plus importants lorsque les cours des titres évoluent dans des sens différents. ->mesure de la covariance et de la corrélation La covariance Cov(Rx,Ry) mesure le degré d’interdépendance entre deux titres : - si covariance positive : les rentabilités varient dans le même sens, - si covariance négative : les rentabilités varient en sens contraire, - si covariance nulle : les rentabilités varient de façon indépendante.

suivant ou X désigne le numéro du mois et Y le chiffre d’affaire correspondant. x 1 2 3 4 5 6 12 13 15 19 21 22 Calculer les moyennes X et Y Construire le nuage de points (abscisse 2cm ordonnée 1cm) Calculer la variance V X( ) et la covariance COV X Y ( , ) Démontrer que la droite de régression de y en fonction de x est 78 9, 2 35 y x = + Tracer en utilisant la droite. Calculer une estimation du chiffre d’affaire à la fin du 7 ème mois. pharmacien observe, durant les six (6)

................................................................................... 9 3.3 Observations et variables supplémentaires .................................................................................. 10 3.4 ACP de la matrice des covariances ............................................................................................. 11 3.5 ACP de la matrice des corrélations ............................................................................................. 11 3.5.1 Cas particulier

Figure: Eléments d’un système de communication ENSI 2013 Transmission numérique, Introduction 4 Chapitre 1 Processus aléatoire Plan  Processus aléatoire  Processus stationnaire  Fonctions de corrélation et de covariance  Processus ergodique  Densité spectrale de puissance  Processus Gaussian  Bruit ENSI 2013 Processus aléatoire 6 Introduction  Dans le domaine de l’ingénierie il est notoire d’utiliser les modèles mathématiques

plus risquée. ------------------------------------------------- La covariance La covariance permet d'évaluer le sens de variation de deux variables et ainsi, de qualifier l'indépendance de ces variables. Elle devient plus positive pour chaque couple de valeurs qui diffèrent de leur moyenne dans le même sens, et plus négative pour chaque couple de valeurs qui diffèrent de leur moyenne dans le sens opposé. Alors qu'une covariance proche de 0 montre qu'une des variables reste proche de sa moyenne alors

à limiter le risque de première espèce à 5%. Cependant, lors de l’étude de sa senbilité, nous avons observé que les erreurs permises sur la matrice de covariances pour les projections de lois multi-normales du plan tangent sur la sphère sont de l’ordre de 100%. Si nous n’arrivons pas à contrôler l’erreur sur la matrice de covariances, l’erreur sur le vecteur moyen est au maximum d’une dizaine de degrés, ce qui est plutôt satisfaisant. Nous avons alors mis en pratique le fonctionnement de