Décomposition QR

2 × 11 = 5 et 5 n’est pas le PGCD(9 ;11) 4) Décomposition en facteurs premiers du PGCD de deux entiers naturels non nuls : Une autre façon de déterminer le PGCD de a et de b est de déterminer sa décomposition en facteurs premiers à partir des décompositions de a et de b. Exemple : a= 5664 = 2 5 x3x59 b=984 = 2 3 x3x 41 PGCD(a ;b) = 24 = 2 3 x3 On constate que le PGCD (a ;b) contient les facteurs premiers 2 et 3 qui sont communs aux deux décompositions avec pour exposant le plus petit des deux exposants

Cours d’arithm´tique e Premi`re partie e Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´cembre 2004 e Ce document est la premi`re partie d’un cours d’arithm´tique ´crit pour les ´l`ves pr´e e e ee e parant les olympiades internationales de math´matiques. Le plan complet de ce cours est : e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´quences e Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´s e Polynˆmes ` coefficients entiers o

Ecriture Littérales I. Développement (révisions) Définition : Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence. Propriété : Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a : II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : Par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab +

entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers distincts. Exemples : 105 = 3 × 5 × 7. 3 × 5 × 7 est la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 105. 99 = 9 × 11 = 32 × 11 600 = 8 × 3 × 25 = 23 × 3 × 52 23 × 3 × 52 est la décomposition en produit de facteurs premiers de 600. Les facteurs premiers sont 2, 3 et 5 affectés des exposants 3, 1 et 2. EXERCICE 1 - COMMENT RECONNAÎTRE UN NOMBRE PREMIER ? 1. Le nombre

28 et 35 le nombre de diviseurs est de: 5x2x2= 20Cas général si on considère N un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiersN= P1α1 x P2α2 x P3α3 x…. pnαn Le nombre de diviseurs de N est : (α1+1)(α2+1)(α3+1) 1= indice au dessous4) PPCM (a,b) Définition Le PPCM à 2 nombres entiers « a » et « b » est le plus petit nombre se trouvant à la fois dans la liste des multiples de « a » et dans celles des multiples de « b » PPCM (24,60)= ? Liste des multiples de 24, liste des multiples

1 Exercices sur les équations du premier degré Application des règles 1 et 2 Résoudre dans R les équations suivantes en essayant d’appliquer une méthode systématique : 15 8(4 − 3x) + 1 = 53 − 3(x − 5) 16 13x + 2 − (x − 3) = x − 5 − 3(x + 12) + 4x 17 5(3x − 1) − (1 − 2x) = 3(5x − 2) 18 (x + 2)(x + 1) = (x + 4)(x − 5) 1 3x + 4 = 2x + 9 2 2x + 3 = 3x − 5 3 5x − 1 = 2x + 4 Résoudre avec des fractions 4 3x + 1 = 7x + 5 Résoudre dans R les équations suivantes en supprimant d’abord

premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposition). http://prof.pantaloni.free.fr V ERSION DU 9 MARS 2012 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S 2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629. Exercice no 13 Restitution organisée de connaissances (La Réunion juin 2011) Soient A, B deux points du plan d’affixes respectives a et b. On rappelle

de −7 (ou de 7) étant {−7 ; −1 ; 1 ; 7}, on en déduit que n + 1 divise 3n − 4 si et seulement si n + 1 appartient à {−7 ; −1 ; 1 ; 7} soit n appartient à {−8 ; −2 ; 0 ; 6}. Exercice 3 : Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en utilisant l’algorithme d’Euclide. Correction Avec l’aide de Maple on a immédiatement : > ifactor(1640); ifactor(492); ( 2 ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( 2 ) 2 ( 3 ) ( 41 ) et le PGCD : 22.41 = 164 . Avec Euclide :

4/ 6 Troisième Exercice 19 ◮1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser quand il s’agit d’un nombre premier : 173 ; 1 900 ; 600 ; 650 ; 344 ; ◮2. En déduire le PGCD et le PPCM des nombres 600 et 1 900. ◮3. Quel est le plus petit nombre par lequel il faut multiplier 344 pour obtenir un carré parfait ? 600 irréductible. ◮4. Rendre la fraction 1 900 37 7 + . ◮5. Calculer 600 1 900 Exercice 20 ◮1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants

complexe i. Instructions associées aux complexes: evalc(…); Re(…); Im(…); abs(…); argument(…); Forme trigonométrique: polar(2,Pi/4); convert(3–I*4,polar); Arithmétique: Reste dans la division euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation: P:= x+1; eval(P,x=2); Factorisation: factor(x^3 – y^3); Simplification: simplify(…);