Décomposition QR

Devoir maison 3 Exercice 1. Soit P la parabole d’équation y = x2 et A le point de P d’abscisse 1. On s’intéresse à l’intersection de P avec les droites du plan passant par le point A. 1. Soit m un réel. Montrer que la droite Dm de coefficient directeur m passant par A admet pour équation y = mx − m + 1. 2. Tracer P, D0 , D1 , D2 , D−1 et D−3 . 3. Conjecturer graphiquement la valeur de m telle que P et Dm aient un unique point commun. 4. (a) Quelle équation doit-on résoudre pour déterminer les points

II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : * par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² * en utilisant la géométrie : Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous : factorisation, développement, identités remarquables

> a est non premier avec p : cad qu’ils ont un diviseur commun différent de 1. Mais p étant premier, ce diviseur commun est forcément p ! Donc p divise a et même p divise a p donc on a bien a p ≡ a ( p ) (car congrus à 0 tous les deux). 3. La décomposition de 42 en produit de facteurs premiers est 42 = 2 × 3 × 7 : nous allons prouver que chacun de ces termes divise a 7 − a puis nous allons utiliser une conséquence du théorème de Gauss : (P) : « si (b|n et c |n avec pgcd(b ,c) = 1) alors bc | n »

Nombres Premiers ­ Un entier naturel n est premier si n 1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n. ­ D´composer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´crire sous la forme d’un e e produit de puissances de nombres premiers distincts. D´finitions : e Exemples : ­ 105 = 3 ¢ 5 ¢ 7. e 3 ¢ 5 ¢ 7 est la d´composition en produit de facteurs premiers du nombre 105. ­ 99 = 9 ¢ 11 = 32 ¢ 11 ­ 600 = 8 ¢ 3 ¢ 25 = 23 ¢ 3 ¢ 52 23 ¢ 3 ¢ 52 est la d´composition en produit de

Techniques de base I. Mettre au même dénominateur : But : pour ( effectuer des calculs ex [pic] ( simplifier des expressions ex [pic] Et surtout ( étudier le signe d’une expression Méthode : Trouver le dénominateur commun (le plus petit multiple commun aux dénominateurs) Réduire les fractions à ce même dénominateur commun Calculer Ex : [pic] ; [pic] [pic] Remarques : ( multiplier une fraction par un nombre

CHAPITRE 1 : MAITRISER LES TECHNIQUES DU CALCUL ALGEBRIQUE LUNDI 1ère semaine Fractions Addition de fractions "avec des x" Exemple : Exercice 1 : Effectuer les additions suivantes, en cherchant le plus petit dénominateur possible : Simplifier sans se tromper Simplifier une fraction ne signifie pas : "barrer ce qui est pareil en haut et en bas". On ne peut simplifier que ce qui est en facteur à la fois au numérateur et au dénominateur. Souvent, il faut donc factoriser avant de simplifier

2´meBac e EXERCICES D’ ARITHMETIQUE AU BAC Ann´e scolaire 2006-2007 e 1 Un mot avant de commencer EXERCICES D’ARITHMETIQUE POSES AUX ANCIENS EXAMENS DU BACCALAUREAT MAROCAIN Mohamed AIT LHOUSSAIN 6 f´vrier 2007 e J’aimerai juste signaler que ce document vient de naˆ et que tout le monde pourra contribuer pour lui donner ıtre sa forme d´finitive.Ceci se fera en le revisant pour detecter e les ´ventuelles erreurs de frappe car une seule personne detcte e moins qu’un ensemble de personnes

Calcul littéral 1 en 3ème 4. DF (1) - simple distributivité - réduction - substitution (+calcul d'images) - factorisation Ce sera abordé plus tard dans l'année Le calcul d'image à partir de l'expression de f sera traité dans ce chapitre. Test d'entrée : priorités de calculs / réduire une expression Types de tâches 1) Déterminer l’image d’un point à partir de l’expression de f 2) Réduire une expression d’ordre 1 ou 2 3) Factoriser une expression Techniques 1) remplacer la

nombres. Quelques noms Euclide d’Alexandrie Leonhard EULER Christian GOLDBACH Pierre de FERMAT Stéphan BOUSQUET Table des matières 1 OUTILS DE BASE 4 1.1 Les sous-entendus dans la notation 4 1.2 Diviseurs 4 1.3 Nombres premiers 4 1.4 Décomposition en produit de facteurs premiers 4 1.5 Notation décimale 4 1.6 Notation Fractionnaire 4 1.7 Notation ingénieure 4 1.8 Notation scientifique 4 1.9 Notation logarithmique 4 1.10 Plus petit commun multiple (ang. lcm) 5 1.11 Plus grand commun diviseur

Chapitre 1. Suites Corrigés des exercices-tests  Vrai ou faux a) Vrai : pour tout entier naturel n, u n+1 – u n = 7. b) Faux : u 1 – u 0 = 2 – 1 = 1 et u 2 – u 1 = 5 – 2 = 3. n+1 u c) Faux : pour n ≠ 0, n +1 = , rapport non n un constant. d) Vrai : si r est la raison, u n + u n+2 = u n+1 – r + u n+1 + r = 2 u n+1 .  Vrai ou faux a) Vrai : pour tout entier naturel n, u n+1 – u n = 2. b) Vrai : pour tout entier naturel n, 1 1 1 u n+1 – u n = – = > 0. n n + 1 n(n + 1) c)