Définition par récurrence

1) Définition Une matrice de taille n×p est un tableau de nombres (réels dans ce chapitre), n étant le nombre de lignes et p de colonnes. On note ai,j l’élément de la ligne i et colonne j de la matrice A. La matrice A peut se noter (ai,j). Ex : 1 2 4 9 3 5 7 6 8 1 5 2 A − = − − de taille 3×4. L’élément a2,3 vaut 7. 2) Matrices particulières a) Matrices ligne et matrice colonne Une matrice ligne est une matrice de taille 1×p. Une matrice colonne est une matrice de taille n×1. Ex

nombres rationnels est un anneau commutatif unitaire pour les opérations classiques d’addition et de multiplication. Définition 1.1 On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est convergente s’il existe un nombre rationnel r tel que : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |rn − r| < ε. En cas de convergence il y a unicité de la limite et on écrira lim un = n→+∞ ou un → n→+∞ . Définition 1.2 On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est de Cauchy si : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , ∀m ≥

rationnels est un anneau commutatif unitaire pour les opérations classiques d’addition et de multiplication. Définition 1.1 On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est convergente s’il existe un nombre rationnel r tel que : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |rn − r| < ε. En cas de convergence il y a unicité de la limite et on écrira lim un = n→+∞ ou un n→+∞ → . Définition 1.2 On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est de Cauchy si : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 ,

chapitre 1 Les suites A Le programme Contenus Capacités attendues Commentaires Raisonnement par récurrence. • Savoir mener un raisonnement par récurrence. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites. Limite finie ou infinie d’une suite.  Dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante (un) et un nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A. Pour exprimer

peut même reposer sur certaines formes croyances. I) Le savoir semble exclure au moins certaines formes de croyances. Le sujet confronte toutes les formes de croyance au savoir.^ On veut savoir si le savoir exclue totalement la croyance. A) Par définition le savoir exclue la croyance. La croyance c’est penser détenir la vérité ou bien adhérer à une idée et s’y fier. La croyance repose sur la confiance que l’on accorde à soi-même ou bien celle que l’on offre aux autres. Elle n’est pas démontrée ou

Chapitre 01 Suites numériques Rappels sur les suites (classe de 1ère) I. Généralités sur les suites (classe de 1ère) 1.1) Définition Une suite numérique est une fonction u définie de ℕ dans ℝ , qui à tout nombre entier n, fait correspondre son image u(n) qu'on note aussi un , n≥0 ou n≥1 ... La suite se note (u n )n . Le nombre un s'appelle le terme de rang n ou encore le terme général de la suite. Le nombre u0 s'appelle le premier terme ou terme initial de la suite . Autrement dit : Une suite numérique

l’égalité : k=0 z n+1 − 1 . z−1 n z k = z n+1 − 1. Or Solution. Vu que z − 1 = 0, il suffit de démontrer que (z − 1) k=0 n n zk = (z − 1) k=0 n z k+1 − k=0 z k = z n+1 − z 0 = z n+1 − 1. k=0 NB : Ce n’est pas nécessaire d’utiliser une récurrence. 2. Soit u = ei2π/7 et S = u + u2 + u4 . (a) Justifier (en au plus 3 lignes) que: 1 + u + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 0. Solution. On note tout de suite que u est une racine 7ième de l’unité: u7 = ei2π = 1. 7 −1 = 0. D’après la question 1, 1 + u +

1ère STMG – Généralités sur les suites – page 1/3 1ère STMG Généralités sur les suites 1°) Définitions définitions :  L’ensemble des entiers naturels est l’ensemble des nombres entiers positifs, et est noté ℕ.  Une suite numérique &#119906; est une fonction dont la variable est un entier naturel.  L’image par &#119906; d’un entier naturel &#119899; est appelé le terme de rang &#119951; et est noté &#119958;&#119951;. &#119906;&#119899; se lit « &#119906; indice &#119899; » et est aussi

que (an )n∈N est décroissante minorée par 1 . 2 3. Montrer que (an ) converge vers 1 . 2 Indication Correction Vidéo [000574] Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 4 Indication pour l’exercice 1 Écrire la définition de la convergence d’une suite (un ) avec les “ε”. Comme on a une proposition qui est vraie pour tout ε > 0, c’est en particulier vrai pour ε = 1. Cela nous donne un “N”. Ensuite séparez la suite en deux : regardez les n < N (il n’y a qu’un nombre

l’algorithme d’Euclide et des coefficients de Bézout. – Les calculs de cryptage se feront modulo n. – Le décodage fonctionne grâce à une variante du petit théorème de Fermat. 1. Division euclidienne et pgcd 1.1. Divisibilité et division euclidienne Définition 1 Soient a, b ∈ Z. On dit que b divise a et on note b|a s’il existe q ∈ Z tel que a = bq . Exemple 1 – – – – – – 7|21 ; 6|48 ; a est pair si et seulement si 2|a. Pour tout a ∈ Z on a a|0 et aussi 1|a. Si a|1 alors a = +1 ou a = −1. (a| b et b|a)