Définition par récurrence

N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ un ≥ A (resp. un ≤ −A). Attention ! Dans le cas où (un ) admet pour limite ±∞, (un ) est divergente. 2) Composition de limites Soient f une fonction numérique et (un )n∈N une suite réelle telle que un soit dans l’ensemble de définition de f à partir d’un certain rang. Si (un )n∈N converge vers a et si f admet une limite ℓ en a, alors la suite f (un ) Si (un )n∈N converge vers a et si f est continue en a, alors la suite f (un ) n∈N n∈N converge vers ℓ. converge vers f (a).

Introduction Définition heuristique d'un système chaotique Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes : le phénomène de sensibilité aux conditions initiales, une forte récurrence. La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s'opposent notamment aux systèmes intégrables

numériques 1) Définition : Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation y=f(x). 3) Suites définies par récurrence Ce sont

Les suites I – Comportement d’une suite Définitions : • Dire qu’une suite [pic] est croissante signifie que pour tout naturel n, [pic]. • Dire qu’une suite [pic] est décroissante signifie que pour tout naturel n, [pic]. • Dire qu’une suite [pic] est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante. Remarques :n • On parle aussi de suite [pic] croissante à partir d’un rang [pic] : pour tout naturel [pic] alors [pic]. • On définit aussi les suites strictement

b, ∀n ∈ N. 3 Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N∗, E ( E(nx) n ) = E(x), où E est la fonction partie entière. (0,75 pt) 4 Montrer que √√ 2 + 2 est irrationnel. (0,5 pt) Correction 1 Supposons qu’il existe un rationnel r tel que r2 = 2. Par définition de Q, il existe a et b deux entiers naturels non nuls tels que r = a b et pgcd(a, b) = 1. On a : r2 = 2⇒ a2 = 2b2 ⇒ a2 est pair⇒ a est pair. Si a est un entier pair, alors il peut s’écrire sous la forme a = 2k où k ∈ N∗, ainsi b2 = 2k2. L’entier

1 C H A P I T R E Suites numériques Introduction 1. Programme Contenus Suites Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d’une suite. Limites et comparaison. Opérations sur les limites. Comportement à l’infini de la suite ^qnh , q étant un nombre réel. ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S Suite majorée, minorée, bornée. Capacités attendues Commentaires • Savoir mener un raisonnement par récur- Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année

8 9 BASES DE LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Opérations logiques  Ensembles et parties d’un ensemble ; quantificateurs  Apprendre à raisonner par l’absurde  Raisonner par contraposition  Compter, calculer, ordonner, raisonner par récurrence  Notion de fonction  10 OPÉRATIONS LOGIQUES Objets, assertions, relations  Vrai et Faux  Quelques opérations entre assertions  Règles de logique  11 Objets, assertions, relations Les nombres (ℕ, ℤ, ��, ℚ, ℝ, ℂ, …) 12

I. Rappels 1) Fonction dérivable Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que : [pic]. L est appelé le nombre dérivé de f en a. 2) Tangente à une courbe Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I. L est le nombre dérivé de f en a. A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative [pic] de f. Définition : La tangente à la courbe [pic] au point A est

que la proposisiton Pk soit vraie pour tout k ∈ [|1, n|] , n fixé dans N∗ . — Nous avons : B n+1 = BnB = B × B selon l’hypothèse = B puisque P2 est vraie Conclusion : comme (∀k ∈ [|1, n|] , Pk ) =⇒ Pn+1 selon le second principe de récurrence (récurrence forte) : Pn est vraie pour tout entier n non nul, soit : ∀n ∈ N∗ , B n = B 0 • Montrons que la proposition Pn :"C n = (−1) n−1 C" est vraie pour tout entier n non nul. — L’initialisation est bien vérifiée car : C1 = (−1)1−1

Chapitre 1 : SUITES GEOMETRIQUES I - Suites géométriques 1. Définitions suite géo : passe d’un terme au suivant en multipliant par un mm nbre : raison suite est géo de raison « q » ss elle vérifie : relat° de récurrence : = pour tt n ∊ N : Un+1 = q x Un suite est géo de 1er terme Uo et raison q ss son terme général : Un = Uo x qN 2. Sens de variation Soit U suite géo de raison q > o tel que Un = qN • o < q < 1 : suite décroissante • q = 1 : suite constante • q > 1 : suite