Degré d'un polynôme

problèmes visant à développer la compréhension et l’intuition des élèves, mettant ainsi à profit la présence du colleur. Prérequis La connaissance du cours est indispensable ; elle est, de toute façon, la moindre des choses qu’on peut attendre d’un candidat aux concours. Malgré mes efforts pour ordonnancer le contenu de ce recueil, c’est-à-dire de faire en sorte qu’un exercice ne fasse appel qu’aux connaissances des chapitres qui le précèdent, cela n’a pas toujours été possible et cette règle

coordonnées de v = (1 + i, 1 − i, i) dans cette base. Indication Correction Vidéo [001006] Exercice 5 1. Soit E = Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Montrer que toute famille de polynômes {P0 , P1 , . . . , Pn } avec deg Pi = i (pour i = 0, 1, . . . , n) forme une base de E. 2. Écrire le polynôme F = 3X − X 2 + 8X 3 sous la forme F = a + b(1 − X) + c(X − X 2 ) + d(X 2 − X 3 ) (a, b, c, d ∈ R) puis sous la forme F = α +β (1+X)+γ(1+X +X 2 )+δ (1+X +X

grandeurs. Dans ce chapitre, nous allons découvrir qu'au fur et à mesure que l'on agrandit l'univers des nombres, de plus en plus d'opérations ont du sens. L'ensemble des nombres naturels Les nombres naturels permettent le dénombrement des éléments d'un ensemble : {0, 1, 2, 3, ...} N= Remarque Dans N, l'addition est interne1 et partout définie2, ce qui n'est pas le cas pour la soustraction : 3-2=1 2-3=? L'ensemble des nombres entiers Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} L'ensemble

longueur de l’arc de cercle entre P et M vaut θ. Notez que les fonctions trigonométriques n’interviennent pas dans ce calcul ! Mais en revanche il est nécessaire d’exprimer l’angle en radians pour que cette formule soit vraie. Plus généralement, l’arc d’un cercle de rayon R correspondant à un secteur angulaire de θ radians a pour longueur Rθ. Dans le plan, on définit le sens trigonométrique comme le sens inverse de celui des aiguilles d’une montre. Alors l’angle orienté entre deux vecteurs (u, v)

le gradient d’un potentiel φ(x, y) : Marc BUFFAT, UFR Mécanique, UCBLyon Z La solution à potentiel du problème (5.3) et donc (5.1) correspond donc au champ de vitesse qui minimise l’énergie cinétique globale parmi tous les champs de vitesse à potentiel vérifiant les conditions aux limites. Cette propriété, caractéristique des écoulements incompressibles à potentiel (ou irrotationnels), a été découverte par Lord Kelvin en 1849 1 . Exercice : démontrer cette propriété. 1. d’un maillage M

. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Largeur analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Système générateur minimal d’un module . 2.2.2 Largeur analytique d’un idéal . . . . . . . 2.2.3 Largeur analytique de filtrations d’idéaux . 1 3 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’idéaux . . . . . . . . . . . . .

+∞ −∞ Remarque : Quand le dénominateur tend vers 0, il faut déterminer et justifier s’il le fait par valeurs positives ou négatives (on peut s’aider d’un tableau de signes). Exemples : • lim 1 = 0 , car lim 3x + 2 = +∞ x→+∞ 3x + 2 1 • lim = −∞ , car lim x − 2 = 0− (x − 2 < 0 ,pour x < 2) x→2 x − 2 x→2 x 0 ,pour x > 2) x→2 x>2 3-4 Limite d’un quotient Pour étudier la limite de de f . g Exemples : 1 x+1 • lim √ = lim (x + 1) × √ x→0 x→0 x x x>0 x>0 →1 →+∞ f 1 1 f , on écrit que = f × . On

Cours de première Spécialité mathématiques Fonctions polynômes du second degré (1) Révision p.45 pour revoir de nombreuses notions utiles au chapitre et acquérir quelques notions de rédaction et de logique. La diversité des fonctions numériques de la variable réelle est inimaginable. Certaines fonctions très exotiques n'ont pas encore montré d'intérêt pratique. Certaines servent de contre-exemples pour mettre en évidence les limites du champ d'application d'une propriété. D'autres ont des application

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . 2.4.1 Polynômes de Legendre . . 2.4.2 Polynômes de Tchebychev . 2.5 Approximation par Moindres Carrés 2.6 Meilleure Approximation . . . . . . 2.7 Oscillations de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 . . 7 . 7 . 8 . 9 . 10 Dans ce chapitre, l’anneau ( , +, ×) désigne ( , +, ×) ou ( [X ], +, ×). Pour a ∈ , on note |a| : la ˜ valeur absolue de a si = et |a| = deg(a) si = [X ]. Pour a ∈ non nul, on note a : la valeur absolue de a si = et le polynôme a normalisé si = [X ]. I) 1) Divisibilité Rappels • Division euclidienne dans : Soient a, b ∈ avec b = 0, alors il existe q, r ∈ uniques tels que a = bq + r avec 0 r < |b| . Soient A, B ∈ [X ] avec B = 0, alors il existe Q, R ∈ [X ] uniques