Degré d'un polynôme

entier vérifiant 1 r n. 3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note Rr−1 [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r − 1. On considère l’application linéaire φ de Rr−1 [X] dans Rr définie par : P → (P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λr )). Déterminer le noyau de φ, puis en déduire qu’il existe un unique polynôme L de Rr−1 [X] tel que pour tout i ∈ {1, . . . , r}, L(λi ) = eλi . 4. Pour i ∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme li de Rr−1 [X] par : r

Planche no 1. Algèbre linéaire I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace

par {draw:frame} {draw:frame} et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (unité graphique : 2cm) Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur IR par : g(x) = x3 – 3x – 4 g est une fonction polynôme donc dérivable et continue sur IR {draw:frame} {draw:frame} Pour tout x réel, g’(x) = 3x²-3 = 3(x+1)(x-1) g’ a le signe d’un polynôme de degré 2 dont les racines sont -1 et 1 ainsi : D’après le tableau des variation

  Définition de la loi interne Si (x, y) et (x', y') sont deux éléments de R2,  Définition de la loi externe Si est un réel, et (x, y) un élément de R2 Elément neutre de la loi interne C'est le couple (0, 0), où 0 désigne le zéro de R.  Symétrique d'un élément Le symétrique de (x, y) est le couple (‐x, ‐y)  2 Exemple 2 : Le R‐espace vectoriel Rn Cet exemple généralise l'exemple précédent.  Définition de l'ensemble Si n est un entier supérieur ou égal à 2, le produit cartésien de n ensembles égaux à

l’équation complète : méthode par identification Solution particulière du même type que le 2nd membre c(t). 23 ED linéaire du 1er ordre à coef csts 2nd membre c(t) constante polynôme k.eat k1.sin(at) ou k2.cos(at) combinaison linéaire des fonctions précédentes solution particulière yPC constante polynôme de même degré K.eat K1.sin(at) + K2.cos(at) combinaison linéaire des solutions précédentes (a, k, k1, k2 ,K, K1 et K2 étant des constantes réelles) 3) Solution générale de l’équation complète

Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA. 1 Correction [005656] Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1, n]], Tr(Ak ) = 0. Correction [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace

consiste à utiliser la linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons

suite arithmétique ou géométrique. • Calculer la somme des k premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique. Équations, inéquations, systèmes d’équations • Reconnaître une situation conduisant à une mise en équation ou en inéquation du 1er degré, à un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues et à coefficient numériques • Résoudre algébriquement un système linéaire de deux équations à deux inconnues. • Résoudre graphiquement un système linéaire de deux équations à deux inconnues. • Résoudre

endomorphismes 1 Réduction des endomorphismes Proposition 4 : Kerϕ : ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de K[X]. Imϕ = K[u] est une sous algèbre de (E). Si dim E est fini alors u admet un polynôme minimal. Table des matières 1 2 Sous espaces stables par un endomorphisme Polynôme d'endomorphisme ou de matrice 1 1 2.1 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres

des parenthèses 2. Signe d’un produit et d’un quotient D. TRANSFORMATIONS D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES 1. Propriétés des opérations 2. Réduction des termes semblables 3. Développement, factorisation des expressions algébriques E. POLYNÔMES – RACINES D’UN POLYNÔME II. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS OU D’INÉQUATIONS – SYSTÈMES A. DÉFINITIONS B. RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE D’UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE C. RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE D’UNE INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE D. RÉSOLUTION