Degré d'un polynôme

1 2 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Table des matières Techniques de calculs, nombres complexes 1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence, résolution de systèmes, polynômes 7 8 9 10 12 13 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, fonctions trigonométriques Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . .

principalement sur le plan de la méthode et du lexique, susceptibles d’accompagner la préparation des concours. Le souci a été d’efficacité et d’utilité, quant au choix du format il nous a été dicté par l’intention de publier des textes maniables, d’un accès aisé et vers lesquels il est commode de revenir souvent. Aux textes rédigés les années précédentes, il a été ajouté le mémento consacré au thème de CSH de l’année, La Beauté. Tous les textes sont donc désormais à disposition, ils ont prouvé

– h sont dans Df et f(a – h) + f(a + h) = 2b 2. POLYNOMES DU SECOND DEGRE Définition-Théorème: Une fonction P définie sur est appelée fonction polynôme lorsqu'il existe un entier naturel n et des nombres réels an, an–1, ……, a1, a0 tels que, pour tout x ∈ I, R, on ait: P(x) = anxn + an–1xn–1 + …… + a1x + a0 Toute fonction polynôme s'écrit de manière unique sous cette forme (appelée forme réduite du polynôme); le nombre n s'appelle degré du polynôme, les réels an, an–1, ……, a1, a0 sont ses coefficients

. . 1.1.1 Problèmes bien/mal posés . . . . . . 1.1.2 Conditionnement d’un problème . . 1.2 La résolution d’un problème mathématique 1.3 Algorithmes et problèmes numériques . . . 1.3.1 Définition qualitative d’algorithme . 1.3.2 Complexité d’un algorithme . . . . . 1.3.3 Algorithmes numériques . . . . . . . 1.3.4 Consistance . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Stabilité d’un algorithme . . . . . . 1.3.6 Convergence d’un algorithme . . . . 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Appartenance et éléments d’un ensemble . . . . 6.1.2 Inclusion et sous ensemble . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . 6.1.4 Famille d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Vocabulaire et notations . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Image directe et image réciproque d’un ensemble 6.2.3 Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . 6.2.4

11. Synthèse des correcteurs par placement des pôles 1 11.1. Méthode de « Zdan » 11.1.1. Problème à résoudre 11.1.2. Calcul du correcteur C(x) 11.1.3. Exemple 11.1.4. Suppression des oscillations cachées 11.1.5. Conception d’un correcteur stable 11.2. Régulateur « RST » 11.2.1. Principe de la méthode et hypothèses 11.2.2. Précision en boucle fermée 11.2.3. Simplification des zéros 11.2.4. Choix du modèle à poursuivre 11.2.5. Résolution de l’identité de Bezout (equation diophantine) 11.2.6.

-1 -1 -i i -1 d) Quantité conjuguée Pour obtenir la forme algébrique d'un quotient de nombre complexes, on multiplie « haut et bas » par le conjugué. Exemple : Effectuer les calculs suivants à la main puis vérifier avec Maxima Calcul Résultat -8-20i/8 Utiliser la fonction rektform -9i-12/9 -1/2 2. Représentation géométrique des nombres complexes 2.1. Affixe d'un point, d'un vecteur Munissons le pland’un repère orthonormé À tout nombre complexe(avecetréels)

Chapitre 3 LES POLYNOMES 3.1 Les objectifs Le but de ce chapitre est d’apprendre ` a e o • effectuer des op´rations dans l’ensemble des polynˆmes, • utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynˆmes, dans la simplification des fractions o rationnelles et dans la r´solution d’´quations, e e • utiliser la m´thode des coefficients ind´termin´s lors de la r´solution de certaines applications. e e e e 3.2 3.2.1 Vocabulaire(Rappels) Monˆmes o  e  a est un coefficient r´el (a ∈ IR);

a (x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ). Correction Vidéo [000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) [000717] est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo Exercice 7 Dans l’application du théorème des