Degré d'un polynôme

Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536 Éric Brunelle et Dominique Goyette Table des matières Introduction Chapitre 1. Quelques rappels 1. Les ensembles 2. Arithmétique sur les nombres réels 3. Les polynômes Chapitre 2. Équations et inéquations 1. Les équations 2. Les fractions algébriques 3. Intervalles et inéquations Chapitre 3. Étude graphique de fonctions Introduction 1. Éléments de l’étude des fonctions 2. Opérations sur les fonctions 3. Rôle des paramètres a, b, h

D’où la condition fondamentale de stabilité d’un système échantillonné: Un système à temps discret est stable si et seulement tous les pôles de sa fonction transfert G(z) = N(z)/D(z), racines de l’équation D(z) = 0, ont tous un module inférieur à 1, c’est-à-dire se trouvent tous à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité du plan z. II- Application aux systèmes asservis. La figure ci-dessous représente le schéma fonctionnel canonique d’un asservissement échantillonné: On note : -

est l’opérateur de transfert du système. e(t) opérateur s(t) Schéma unifilaire Le système est linéaire si pour deux entrées e1 et e2 fournissant les sorties s1 et s2, une entrée 1e1  2e2 fournira une sortie 1s1  2 s2 . La linéarité d’un système donne validité au principe de superposition. Lorsque la relation entre e(t) et s(t) est une équation différentielle linéaire, le système est linéaire.  Invariance dans le temps. Un système est dit invariant (par translation dans le temps)

donner le sens de variation de la fonction F. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur ]1; + ([ par : [pic] . On appelle Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 1. Déterminer les limites aux bornes de l’intervalle, qu’en déduit-on pour la courbe Cf ? 2. Montrer que Cf admet une asymptote ( d’équation y = 2 x + 1. Étudier les positions relatives de la courbe Cf et de la droite (. 3

Sage de la section 12 sont tirés du tutoriel de MuPAD-Combinat [HT04] et Sage-combinat. Le dénombrement des arbres binaires complets de §12.1.2 est en partie inspiré d’un sujet de TP de Florent Hivert. L’exercice 9 sur le problème de Gauss est tiré d’un problème de François Pantigny et l’exercice 17 sur l’effet Magnus est extrait d’un TD de Jean-Guy Stoliaroff. Préface Ce livre est destiné à tous ceux qui désirent utiliser efficacement un système de calcul mathématique, en particulier le logiciel

avons rencontré des équations du second degré n'ayant pas de solution dans R Exemple : l'équation x2 - 3x + 5 = 0 n'admet pas de solution réelle car son réalisant est négatif :  = - 11 Nous allons maintenant imaginer un nombre dont le carré serait égal à -1. Ce nombre n'appartient évidemment pas à l'ensemble des réels puisque le carré de tout nombre réel est positif : c'est un nombre imaginaire. En supposant que l'on calcule avec i comme s'il s'agissait d'un nombre réel, nous pouvons poursuivre la

livre est un recueil d’exercices et de problèmes dans les grands secteurs des mathématiques pour l’ingénieur. Il s’adresse aux étudiants de troisième année de Licence de physique et d’EEA ainsi qu’aux élèves des écoles d’ingénieurs. Il est le fruit d’un enseignement de mathématiques pour l’ingénieur dispensé en première année de l’École Nationale Supérieur d’Électronique, d’Informatique et de Radiocommunication de Bordeaux (ENSEIRB). Nous avons pris le parti de privilégier l’exposé des méthodes

2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 10 14.2. Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . 10 14.3. Ordre quelconque . . . . . . . . . . . . 10 14.4. Déterminant d’un produit . . . . . . . 10 14.5. Dét. d’une mat. triangulaire par blocs 11 15. Réduction des Endomorphismes 11 15.1. Valeurs propres et vecteurs propres . 11 15.2. Polynôme caractéristique . . . . . . . 15.3. Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . 11 15.4. Diagonalisibilité et diagonalisation . 11 15.5. Triangularisation . . . . .

spectrale IV.1 Introduction et propriétés admises . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Spectre et densité spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Estimation de la densité spectrale : le périodogramme . . . . . IV.4 Densité spectrale d’un processus ARMA . . . . . . . . . . . . . IV.5 Processus fractionnaires : retour sur la stationnarité . . . . . IV.6 Identification des causes de non-stationnarité à l’aide de la densité spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

tan x 4°/ Cas des fonctions composées Si f et g sont dérivables et si la fonction fog est définie, elle est dérivable et ( fog ) ′( x ) = f ′ g ( x ) g ′ ( x ) . b g 5°/ Dérivées d’ordre supérieur Il peut être utile de calculer la dérivée nième d’un produit de deux fonctions n fois dérivables, ce calcul se fait en utilisant la formule de Leibniz : bfg g (n ) k =n ( x ) = ∑ C nk f k =0 (k ) ( x ) g ( n − k ) ( x ) avec la convention habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont