Degré d'un polynôme

 NOM : MATHEMATIQUES, 1°S . Année: 2014 / 2015 Sommaire 1- Les fonctions de degré 2. 1- Fonctions polynômes de degré 2 . 2- Equations et inéquations de degré 2 . 3- Applications. 2- Les fonctions de référence. 1- Les fonctions racine carrée et valeur absolue . 2- Variations de fonctions composées . 3- Positions relatives

. . . . . . . Système d’équations différentielles 4.1 Généralités: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cas des coefficients constants: résolution matricielle . 4.3 Forme des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Utilisation d’un opérateur différentiel D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

est : 𝑟2 − 3𝑟 = 0 ⇔ 𝑟 = 0 ou 𝑟 = 3 La solution générale de (𝐸′) est : 𝜑(𝑥) = 𝜆1 + 𝜆2𝑒3𝑥 0 est une solution simple de l’équation caractéristique et le degré du polynôme 2 est 0 donc il existe une solution particulière de (𝐸) de la forme 𝜑𝑃(𝑥) = 𝐴𝑥 𝜑𝑃 ′ (𝑥) = 𝐴 et 𝜑𝑃 ′′(𝑥) = 0 On remplace cela dans

CORRECTION DEVOIR MAISON 1 SECOND DEGRE EXERCICE 1 : Résoudre les équations suivantes sur . Résolution de : : : Donc les solutions de l’ quation Donc sont CORRECTION EXERCICE 2 : Calculer les dimensions d’une plaque de circuit lectronique rectangulaire dont le p rimètre mesure 200 mm et son aire 2100 mm². è R solvons l’ quation : Les solutions de l’ quation sont . Les dimensions de la plaque de circuit électronique sont donc 30mm par 70mm (dans

sin x 2) Limites de fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par : • la limite du terme du plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. x →2 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la

(r)/rn → 0 pour n ≥ p + 1 et donc |an | = 0 pour ces n. Autrement dit, f est un polynôme de degré au plus p. http://www.bibmath.net 4 Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé 2. Traduisons la propriété avec M (r). On a, pour r ≥ R, M (r) ≤ Krp . Ainsi, pour ces r, M (r)/rp+1 ≤ K/r et donc M (r)/rp+1 tend vers 0. D’après la question précédente, f est un polynôme de degré au plus p. Supposons maintenant que R = 0. Alors, pour tout r > 0, on a M (r)

N + 1) et toutes les progénitures des couples de lapins du mois N . Nous avons donc la relation : FN+2 = FN+1 + FN BLes pythons mangent les lapins. 1. Rédiger un programme Python lapin.py qui calcule de manière itérative le nombre de lapins au bout d’un an

que si f (n) 2 O(g(n)), alors f (n) + g(n) 2 O(g(n)). 6. Montrer que f (n) + g(n) 2 ⇥(max(f (n); g(n))). 7. Montrer que O(f (n) + g(n)) = O(max(f (n); g(n))). Exercice 5 – Comportement asymptotique des polynômes Soit p(n) = d X a i ni i=0 où ad > 0, un polynôme en n de degré d, et soit k une constante. Utiliser les définitions des notations asymptotiques pour démontrer les propriétés suivantes : 1. Si k d, alors p(n) = O(nk ). 2. Si k  d, alors p(n) = ⌦(nk ). 3 3

Relations dans le triangle – Pythagore – Thalès ………………………....….34 6. Fonctions polynômes et homographiques ……………….…………….....….42 7. Fonction logarithme et exponentielle …………………………………...……56 8. Fonctions circulaires (sin, cos, tan, cercle trigonométrique) ……….……….60 9. Courbes paramétrées …………………………………………………..…...…65 10. Calcul vectoriel (produit scalaire, vectoriel, mixte) ………………….……....71 11. Barycentre d’un ensemble de points ………………………………….....……78 12. Courbes de Bézier (3 points, 4 points)

Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances