Degré d'un polynôme

modélisation V AR (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La représentation V AR (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Les modèles ARM AX ou V ARM A . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Estimation des paramètres d’un modèle V AR . . . . . . . . . . . 1.3.4 Autocovariances et autocorrélations . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Application sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Prévision à l’aide des modèles V AR . . . . . . . . . . .

distance focale suivie d’un miroir plan à une distance quelconque. Questions : - Dessiner l’image d’un objet perpendiculaire à l’axe optique, placé avant le foyer objet principal . On cherche d’abord l’image de à travers la lentille : on trace le rayon passant par qui n’est pas dévié, puis le rayon parallèle à l’axe optique qui passe par en sortie de la lentille. L’intersection nous donne . L’image de à travers le miroir est son symétrique par rapport au miroir - Dessiner l’image d’un objet perpendiculaire

variance que l’on calculera. 7) Ecrire un programme qui simule les lancers des deux dés jusqu’à ce que chacun des deux dés ait amené un six, et qui affiche la valeur prise par Z. Exercice 2 (d’après EM Lyon 2000 voie E) Soit n ∈N* . On dispose d’un jeu de 2n cartes qui contient deux rois rouges. On envisage deux jeux d’argent régis par les protocoles suivants. A – Premier protocole Les cartes du jeu sont alignées sur une table de façon aléatoire. Le joueur retourne les cartes une par une

plus strictement positifs. Finalement, les n réels xk sont deux à deux distincts. sin(kπ) = 0. On a donc trouvé n réels deux à deux distincts racines du Maintenant, pour k ∈ 1, n , P(xk ) = kπ sin2n+1 2n + 1 polynôme P qui est de degré n. Les relations entre coefficients et racines d’un polynôme permettent d’affirmer que n xk = − k=1 −C3 n(2n − 1) (2n + 1)(2n)(2n − 1)/6 2n+1 = . = 2n + 1 3 C1 2n+1 Donc n ∀n ∈ N∗ , k=1 cotan2 kπ n(2n − 1) = . 2n + 1 3 Ensuite, pour x ∈ πZ, /

faculté (pour l'option économie) ou être titulaire d'un Diplôme d'Étude Universitaire Générale en Mathématiques (pour l'option Mathématique) ; v Celui des Techniciens Supérieurs de la Statistique (TSS), de deux (02) ans, dont les candidats au concours doivent être titulaire d'un Baccalauréat scientifique; v Celui des Ingénieurs d'Application de la Statistique (IAS), de quatre (04) ans, dont les candidats au concours doivent être titulaire d'un Baccalauréat scientifique. Dans les buts de concilier

Exercice 1 : Application à l’étude des fonctions rationnelles, calcul de P(x)/Q(x) qd x→ +∞ lim�� →+∞ 5x+x 6 x+3x 6 −x 3 =? Conseil : on ordonne selon les puissances décroissantes de P(x) et de Q(x) puis on factorise par le terme de plus haut degré. Exercice 2 : trouver les limites en +∞ des fonctions suivantes : �� ↦ ���� �� �� ↦ ln �� + �� 1 2. Continuité : 2.1. Définition : 2.1.1. Continuité en un point x0 de ℝ : f est continue en x0 si et seulement si lim��→�� 0 ��(��) = ��(��0

VECTORIEL CRITERE DE SOUS-ESPACE VECTORIEL INTERSECTION DE SOUS-ESPACES VECTORIELS REUNION DE SOUS ESPACES VECTORIELS SOMME DE SOUS-ESPACES VECTORIELS SOMME DIRECTE DE SOUS-ESPACES VECTORIELS SOUS-ESPACES VECTORIELS SUPPLEMENTAIRES 8 8 9 10 10 11 12 BASE D’UN ESPACE VECTORIEL REEL ............................................................................... 14 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4 3 3 3 3 4 4 6 8 STRUCTURE DE SOUS-ESPACE VECTORIEL...........................................................

xmdx  xm1 C m1 x x Prépa HEC Problèmes intégration 1 F. Laroche http://laroche.lycee.free.fr 1-2 : Somme ou différence de fonctions Soit à intégrer la fraction rationnelle : f(x)/g(x) où f(x) est un polynôme de degré m et g(x) un polynôme de degré n avec m > n, on effectue la division euclidienne de f(x) par g(x). Puis on intègre. Exemple 4 : Exemple 5 :  x3  2x  1 dx  x 1  3 2  x2  x  3  2  dx  x  x  3x  2ln x  1  C .   x 1  3 2  

passe une seule solution de (1.1) définie sur I. Preuve. Voir Chapitre 2. Ce résultat implique que 1. S0 = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)} est un espace vectoriel de dimension n. Preuve. S0 , muni des opérations somme de deux solutions et produit d’un scalaire λ ∈ K et d’une solution est un espace vectoriel. S0 a dimension n, car si on fixe t0 ∈ I, alors Φt0 : S0 Y → → Kn Y (t0 ) est un isomorphisme linéaire, grâce au théorème 1.1.2. 2. S = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t) + B(t)} = S0 + Y1

20 21 24 3 Calculer avec matlab 3.1 Les constantes . . . . . . . . . . . . 3.2 Opérations et fonctions portant sur 3.3 Opérations et fonctions portant sur 3.4 Opérations et fonctions portant sur 3.5 Résolution de systèmes linéaires . . 3.6 Les polynômes . . . . . . . . . . . 4 Les 4.1 4.2 4.3 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . les scalaires les vecteurs les matrices . . . . . . . . . . . . . . entrées-sorties Les formats d’affichage