Dérivabilité

> Fonctions : Generalités  o SENS DE VARIATION Croissante si pour tout a>b on a f(a)>f(b) Décroissante si pour tout a>b on a f(a)<f(b) o EXTREMUMS Le maximum d’une fonction sur I est le plus grand des f(x) (xЄI) ; Inversement pour le minimum. Les sommets de la courbe sont les points les plus hauts, ou les plus bas > Droite et équitation de droite o EQUATION REDUITE Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation du type : y=mx+p m

Bac ES Pondichery 2005 EXERCICE 3 (4 points ) Commun à tous les candidats L’objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : Partie A : Étude d’une fonction On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par : 1. Calculer f '(x) et montrer que l’on a : . 2. En déduire le tableau de variations de f sur ]0 ; +[ (les limites aux bornes ne sont pas demandées). 3. Justifier alors que, pour tout x de ]0 ; +[ ,on a : Partie B: Utilisation des théorèmes de comparaisons 1

CONCOURS D’ADMISSION A L’ESM DE SAINT-CYR EN 1992 MATHÉMATIQUES I Options M, P, T, TA Durée : 3 heures Calculatrice interdite Dans l’appréciation des copies, il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements, de la précision de la rédaction, ainsi que de la présentation. Le candidat pourra, à condition de l’indiquer clairement, admettre un résultat afin de traiter les questions suivantes. Les copies mal rédigées ou mal présentées le sont au risques et périls du candidat. La formule de

Signe de la dérivée et variations de la fonction 1. Variations et signe Théorème 7 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si f est croissante sur I, alors f’(x) ≥ 0 pour tout x ϵ I. • Si f est décroissante sur I, alors f’ (x) ≤ 0 pour tout x ϵ I. • Si f est constante sur I, alors f’ (x) = 0 pour tout x ϵ I. L’utilité de la fonction dérivée réside surtout dans le théorème réciproque suivant. . Théorème 8 (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle

> Primitives Notions d’intégrale Séquence 6 – MA01 159 © Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Cours A B A C A D E ............................................................................................................................................................................... 163 Primitives d’une fonction continue sur un intervalle Exercices d’apprentissage (Série 1) Primitives et calculs d’aires Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle Exercices d’apprentissage

Ch 9 Calcul intégral – Notion de primitive Correction des exercices type Bac Exercice 7 Bac S – Liban - Mai 2006 Partie A : étude d’une fonction Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +[ par : f(x) = x ln(x + 1). Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal (O ;  ; ) est donnée en annexe ci-dessous. 1) a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’ensemble [0 ; +[.

Tale S1 DS 5 - Correction Exercice 1 5 points 1. (a) Soit la fonction g dérivable, dénie sur [0 ; +∞[ par g(x) = x e − 1. g (x) = 2xex + x2 ex = x(x + 2)ex Puisque x ∈ [0 ; +∞[, alors g (x) 0 (nulle seulement en 0) et donc g est strictement croissante sur [0 ; +∞[ (b) g(0) = −1 et lim x2 = lim ex = +∞ donc lim g(x) = +∞ 2 x x→+∞ x→+∞ x→+∞ g est une fonction continue (car dérivable) sur [0 ; +∞[ ; l'ensemble des images g(x) est l'intervalle [−1 ; +∞[ et 0 ∈ [−1 ; +∞[ ;

a) t ³ 0 et ( ) 2 V t ³ 0
8 100 −100t ³ 0
t £ 9, de sorte que t Î[0, 9] . b) Dt = 4 −1= 3 semaines c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 DV =V 4 −V 1 = 8 100 −100 4 − 8 100 −100 1  = −1500 exemplaires d) (4) (1) 1500 500 3 3 V V V t D − − = = = − D exemplaires/semaine e) Entre la première et la quatrième semaine suivant la fin de la campagne publicitaire, le nombre hebdomadaire d’exemplaires vendus a chuté, en moyenne, de 500 exemplaires/semaine. f) Si on avait tracé la courbe décrite par

23 Le nombre π C’est une leçon de type « large », c’est-à-dire une leçon de synthèse. 23.1 La fonction exponentielle complexe xn est convergente. n! zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle

722/724 DS03 – Exponentielle et Equations différentielles 24 nov 2008 Exercice I - Vrai ou Faux (0,5 si juste; -0,25 si faux; 0 si pas de réponse : de 0 à 2 points) x –x x –x e e e –e f  x = g  x= Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par : et 2 2 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Pour tout réel x on a g  x=– f  – x 3. Pour tout réel x on a [ f  x ]2 – [ g  x ]2=1 2. Pour tout réel x on a g  x f  x0 4. Pour tout réel x on a 2 f  x g