Dérivabilité

Tle 1 FONCTION LOGARITHME I ) Fonction logarithme népérien 1 ) Définition 1 La fonction x a est dérivable sur ] 0; + ∞ [ donc elle admet une primitive qui s’annule x pour x = 1 . 1 On appelle fonction logarithme népérien , notée ln , la primitive de x a définie sur x ] 0; + ∞ [ , qui s’annule pour x = 1 . Conséquences : • L’ensemble de définition de ln x est ] 0; + ∞ [ • x a ln x est dérivable sur ] 0; + ∞ [ et pour tout x de ] 0; + ∞ [ , ( ln x ) ' = ln' x = 1 x • ln1 = 0 1 1 • ln' x =

Mathématiques économiques I Fiche synthèse : Fonctions à plusieurs variables Dérivées partielles du 1er et du 2ème ordre : Soit f une fonction à plusieurs variables, on appelle dérivée partielle du 1er ordre par rapport à la variable x la limite lorsqu’elle existe : limx0fx,y-fx0,yx-x0 On la note ∂f∂x ou f'xx,y ; y est supposée constante. De même, on appelle dérivée partielle du 1er ordre par rapport à la variable

Etude de la fonction exponentielle : 1) Sens de variations : Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur . Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante. Soient u et v ( IR ; on a : u = ln ( eu ) et v = ln ( ev ) . Si u < v alors eu < ev car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb ( a ey ( x > y ➢ ex = ey ( x = y ➢ ex > 1 ( x > 0 ➢ ex < 1 ( x < 0 2) Etude des limites : Théorème : • [pic] • [pic] Démonstration :

Poitiers Série S septembre 2003 Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats →→ − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O ; u , v . √ On considère les points A et Ω d’affixes respectives : a = −1 + 3 + i et ω = −1 + 2i. 2π 1 On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle et h l’homothétie de centre Ω et de rapport − . 3 2 I. Placer sur une figure les points A et Ω, l’image B du point A par r, l’image C du point B par r et l’image D du point A par h. II. On note b

Exercice 1 Voici le tableau de variation d'une fonction f : |x |-( 0 5 | | |+( | |f'(x) |( | ( 0 ( | |f(x) | -( | 3

Terminale ES M A T H E M A T I Q U ES Cor rigé DS du 20 sept 2011 E xercice 1 1. f(0) est donc f(0) = . de la tangente à la courbe c au point B. On lit -1. La tangente à c au point B a pour équation : 0) + f(0) En utilisant les résultats précédents, on obtient donc : y=-x+ 2. Equations et inéquations : a. f (x) = 0 : les solutions sont les abscisses des points de c axe des abscisses. S = {- 2 ; 1} b. x) = 0 : la courbe c admet 4 tangentes horizontales. Les solutions sont les abscisses des

ROC: Restitution Organisée des Connaissances  Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 2 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Propriétés

1°S Démonstrations de la dérivée d’une somme, d’un produit , de l’inverse et d’un quotient Page : 1 I) Dérivée d’une somme La fonction u + v est dérivable sur I et on a : (u + v)’(x) = u’(x) + v’(x). Démonstration. Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle I. Pour tout a de I on a :  ( u + v)(a + h ) − ( u + v)(a)   u (a + h ) − v (a + h ) − u (a ) − v (a)   u ( h + a) − u (a) v (a + h ) − v (a)  +  = =  h h h h       Or u et v sont dérivable en a. Donc on aura

Correction du Bac Blanc de mathématiques du 10 mars 2010 - TSEXERCICE I (5 points) (Pour les spécialistes de Physique et SVT) A. Solutions d’une équation différentielle. On considère l’équation différentielle : (A) y’ = −10y + 6 où y désigne une fonction de la variable t, dérivable sur R. 1. Restitution Organisée de Connaissances. L'objectif de cette partie est de démontrer l’existence et l’unicité de la solution f de l’équation différentielle (A) telle f(0) = 0. a) Démontre l'existence de la solution

Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009 E XERCICE 1 → → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v . 4 points 1. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : z = 1 − 2i + eiθ , θ étant un nombre réel. z = 1 − 2i + eiθ , ⇒ |z − (1 − 2i)| = eiθ soit |z − (1 − 2i)| = 1. Conclusion : les points M d’affixe z sont à la distance 1 du point d’affixe 1− 2i. Comme θ ∈ R, la réponse est c. z ′ − (−1 − i) = −i[z − (−1 − i)]. f est